对自然数e的理解，推导(基础)

对自然数e的理解，推导(基础)

在前面的博文 古典概型事件数计算, 分房，配对，乱序(概统1)一文中，已经写到了对e的理解，在n把钥匙配n把锁的”乱序配对”问题中，当n很大时，n把钥匙与n把锁乱序后配对，无一配对成功的概率是$\frac{1}{e}$ 大约是0.37，大约是$\frac{1}{3}$的概率，那么至少有一把锁和钥匙能够成功配对的概率是(1-$\frac{1}{e}$)，大约是$\frac{2}{3}$的概率。

因为对e的理解很重要，而且看到很多网文仅仅只是简单说明，这里再来详细说说，用一句话来说，e就是分裂循环极限，或者说分割循环极限。举个例子，银行存款：假设存1万元，假设存一年的利息是100%，假如一年以后取，利息加本金就是2万元。如果每半年取一次，每次的利息就只有50%，一年以后本金加利息=2.25万元,；如果每个季度取一次，每次的利息就只有25%，一年以后本金加利息大约2.4414万元，假设再加快取出速度，每天取，每小时取，那么最大本金加利息最多就是2.71828万元，这就是 e 值， $e=(1+\frac{1}{n}{)}^n$。这个就叫自然数。

直观来理解，e就是一个将单位时间无限细分，细分无限迭代的极限。比如银行计算利息，时间范围是1年，做无限分割，得到无限个利息增长的小段（$\frac{1}{n}，或者\frac{x}{n}$)，这些小段利息再无限迭代，就是$(1+\frac{1}{n})$ 或者 $(1+\frac{x}{n})$ n次相乘，得到的结果就是e或者$e^x$

e的分解：

$e^x$ = ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(x{)}^i}{i!}$
$e^x$ = 1+x+$\frac{(x{)}^2}{2!}+\frac{(x{)}^3}{3!}+...+(x{)}^n\frac{1}{n!}$
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近似计算（e<4）的情况，e的指数越大，后面的项越大，越需要多项展开）：
$e^x$ = 1+x+$\frac{(x)^{2}{2}+\frac{(x)}3}{6} + \frac{(x)^4}{24} +\frac{(x)^5}{120} $
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下面是根据e的定义得出的公式
根据e的定义，e 就是 n次细分再n次乘积，并且 $n->\infty$ ，可得：
$e$ = ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{1}{i!}$ = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{1}{n})^{n} $
$e^x$ = ${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(x{)}^i}{i!}$= $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $
设n=x*t; 得到 $\frac{x}{n}$ = $\frac{1}{t}$
$e^x$ = $\lim_{n->\infty }(1+\frac{x}{n})^{n} $= $\lim_{ t ->\infty }(1+\frac{1}{t})^{tx} $

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思考问题1：
由上面已知，当n趋于正无穷的时候，即 ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e;
那么，如果n趋于负无穷呢？即 ${\lim }_{n\to -\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; 成立吗？怎样证明？
用${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$=e 来证明
已知：${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$； (1)
设$n=\frac{1}{x}$;
(1)式变成
${\lim }_{x\to 0}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$; (2)
当$n\to -\infty$时，表达式是：
${\lim }_{n\to -\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ ; (3)
设 $y=\frac{1}{n}$;
已知$n\to -\infty$，可得 $y\to 0$;
(3)式变成
${\lim }_{n\to -\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$
=${\lim }_{y\to 0}(1+y{)}^{\frac{1}{y}}$ ；
由(2)式，可得
=${\lim }_{y\to 0}(1+y{)}^{\frac{1}{y}}$ =e；(4)
因此
${\lim }_{n\to -\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (5)
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可以写成
${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (6)
${\lim }_{n\to -\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n$ = e; (7)
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因此，无论$n\to \infty$或者$n\to -\infty$，都有
$(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$; (8)

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$\frac{1}{e}$ = $e^{-1}$
$e^{-1}$ =${\sum }_{i=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^i}{i!}$
$e^{-1}$ =$\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{5!}+...+(-1{)}^n\frac{1}{n!}$

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思考问题2：
$e^x$的泰勒级数展开多项式中，哪一项的值最大？
答案是：x等于哪个数就是哪项的值最大， 即恰好第x项的值最大。
比如，对x=1，
$e^1$ = 1+1+$\frac{(1{)}^2}{2}+\frac{(1{)}^3}{6}+\frac{(1{)}^4}{24}+\frac{(1{)}^5}{120}+...$
=1+1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...$
=1+1+0.5+0.167+0.04+0.008+…;
第一项最大 x=1。
===
对x=2:
$e^2$ = 1+2+$\frac{(2{)}^2}{2}+\frac{(2{)}^3}{6}+\frac{(2{)}^4}{24}+\frac{(2{)}^5}{120}+...$
=1+2+$\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+\frac{32}{120}+...$
=1+2+2+1.33+0.67+0.27+…;
第一项及第二项 都是最大$\frac{(x{)}^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2$；
===
x=3，
$e^3$ = 1+3+$\frac{(3{)}^2}{2}+\frac{(3{)}^3}{6}+\frac{(3{)}^4}{24}+\frac{(3{)}^5}{120}+...$
=1+3+$\frac{9}{2}+\frac{27}{6}+\frac{81}{24}+\frac{243}{120}+...$
=1+3+4.5+4.73+3.3+2.05+…;
第三项 最大$\frac{(x{)}^3}{6}=\frac{3^3}{6}$=4.73；
===
x=4，
$e^4$ = 1+4+$\frac{(4{)}^2}{2}+\frac{(4{)}^3}{6}+\frac{(4{)}^4}{24}+\frac{(4{)}^5}{120}+...$
=1+4+$\frac{16}{2}+\frac{64}{6}+\frac{256}{24}+\frac{1024}{120}+...$
=1+4+8+10+12+8.5+…;
第四项 最大$\frac{(x{)}^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24}$=12；
以此类推…

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e的直观意义：e就是把一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。**

比如银行计息，如果一年的利息是100%，一年计一次息，年底就是$（1+1{）}^1$=2，年底余额等于年初的2倍，如果银行每月计一次息，那么每月利息只有年利息的$\frac{1}{12}$，但是每月计息，一年要乘12次，就是$（1+\frac{1}{12})^{12} $，年底余额大约等于年初的2.7倍。如果一年的利息是x，每个月计一次息，每月利息只有$\frac{x}{12}$，一年要计息12次，就是$（1+\frac{x}{12})^{12} $，当计息频率越来越快的时候，每次分割部分越来越小，相乘次数越来越多，到年底的时候，极限本金加利息就是$e^x$

再直观一点理解，e就是频率加快的极限。频率加快，分割变细，乘积次数变多，最后乘积的极限数值就是e.

e的本质就是将一个单位范围内的增长细分再相乘的极限。分段越来越细，乘积越来越多，细分乘积到最后的极限，就是e， e其实就是一个无限分割带增长的极限。从这个意义上来说，e也有点类似于圆周率$\pi $，$\pi $是将围绕着中心的直线无限分割，最后得到周长除以直径的比例，可以无限分割，是无理数。e是将一段时间（比如银行计算利息，1年的范围）无限分割，得到无限个利息增长的小段（$\frac{1}{n}，或者\frac{x}{n}$)，这些增长小段再无限迭代，表现为$(1+\frac{1}{n})$ 或者$(1+\frac{x}{n})$ 再n次相乘，可以无限分割，最后得到的乘积结果就是e，或者$e^x$

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银行计息图片示例：