马氏距离详解（数学原理、适用场景、应用示例代码）

看了很多关于马氏距离（Mahalanobis Distance）的介绍，但是总感觉有一些地方不太清晰，所以结合数学公式、机器学习中的应用案例，从头梳理一下。

马氏距离实际上是欧氏距离在多变量下的“加强版”，用于测量点（向量）与分布之间的距离。

在具体介绍马氏距离之前，首先需要了解下协方差的概念、欧式距离的概念。

什么情况下适用马氏距离？

当需要度量点（向量）与多变量分布之间的距离时，如果直接采用欧式距离，衡量的是两点之间的直接距离（点与分布之间的欧式距离，指的是向量x与变量空间中心的距离），而没有考虑数据的分布特性。

而采用马氏距离，在计算中对协方差进行归一化，则可以规避欧式距离对于数据特征方差不同的风险，从而使所谓的“距离”更加符合数据分布特征以及实际意义。¹

什么是多变量分布（Multivariate Distributions）呢？
我们知道，当一个分布中随机变量的个数超过两个的时候，我们称之为多变量分布。与单个随机变量相比，多变量分布在实际应用中应用更广。
以二维随机变量为例：若对Ω中的每一个样本点ω都有一对有序实数（X（ω），Y（ω））与其对应，则称（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量，称（X，Y）的取值范围为它的值域，记为Ω（X，Y）。
设（X，Y）为二维随机变量，对任意的（x，y）∈R2，称F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）为随机变量（X，Y）的分布函数。²

下面举一个具体例子，说明欧式距离在多变量距离度量方面的局限性。

当我们想要对多变量数据使用欧式距离，可能会遇到一个常见的问题：如果多变量（比如数据集中的列）之间相互关联（这在实际数据集中通常是这种情况），则点与点中心（分布）之间的欧几里得距离会具有误导性，无法真实反映一个点与分布之间的实际距离。³

如下图所示，这是是两个变量的简单散点图。左图是两个变量之间不相关，Point 1和Point 2与分布中心的距离相等。右图是两个变量之间呈正相关。即随着一个变量（x轴）的值增加，另一变量（y轴）的值也增加。

从几何上说，Point 1和Point 2两个点与分布中心的距离相等（欧几里得距离）。但是，即两点到分布的欧几里得距离相等，但实际上只有Point 1（蓝色）更接近该分布。

这是因为，欧几里得距离仅是两点之间的距离，它不考虑数据集中的其余点的分布情况。因此，它不能用来真正判断一个点实际上与点的分布有多接近。所以我们需要的是更健壮的距离度量标准，该度量标准可以精确地表示一个点与分布之间的距离。

马氏距离（Mahalanobis Distance）

马氏距离实际上是欧氏距离在多变量下的“加强版”，用于测量点（向量）与分布之间的距离。

计算公式

向量$\mathbf{x}$到一个均值为$\mu$，协方差为$S$的样本分布的马氏距离计算如下：
$$d_{mahal}=\sqrt{(\mathbf{x}-\mu ){\mathbf{S}}^{-1}(\mathbf{x}-\mu )}$$