「学习笔记」BSGS及扩展

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博客围绕离散对数问题展开，介绍了求 yx≡z (mod p)最小整数解的方法。重点阐述了Shank的大步小步算法（BSGS），通过令m=⌈√p⌉，x=im−j，先枚举右边 zyj 放入map，再枚举左边 yim 求解，还指出它是确定枚举上界的暴力枚举算法，Extended BSGS待更新。

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离散对数问题：给定求 $y,z,p,$ 求 $y^x \equiv z$ $(mod$ $p)$ 的最小整数解.

BSGS

Shank的大步小步算法(Shank’s Baby-Step-Giant-Step Algorithm)

这里介绍一种避开求逆元的BSGS（常数小

令 $m = \lceil\sqrt p\rceil$ ， $x = im-j$

则 $y^{im-j} \equiv z$ $(mod$ $p)$

两边同乘 $y^j$ 得：

$y^{im} \equiv zy^j$ $(mod$ $p)$

$m$ 、 $y$ 、 $z$ 已知，因此先枚举右边 $zy^j,j \in [0,m-1]$ .算出来的值放进map里。再接着枚举左边， $y^{im},i \in [1,m]$ ，如果发现map里有与之对应的值，返回 $im-j$ ，即要求 $x$ .最后若未返回则无解.

（可以看出BSGS是确定了枚举上界 $\lceil\sqrt p\rceil$ 的暴力枚举算法.

LL Qpow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1LL;
    for(; b; b >>= 1, a = a * a % p)
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
    return ans;
}

LL BSGS(LL y, LL z) {
    map<int, int> M;
    LL m = ceil(sqrt(p + 0.5)), cj = z;
    for(int j = 0; j < m; j++) {
        M[cj] = j;
        cj = cj * y % p;
    }
    LL now = Qpow(y, m);
    cj = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        cj = cj * now % p;
        if(M.count(cj)) return i*m - M[cj];
    }
    return -1;
}

Extended BSGS

待更。