「学习笔记」BSGS及扩展

离散对数问题：给定求$y,z,p,$求 $y^x \equiv z$ $(mod$ $p)$的最小整数解.

BSGS

Shank的大步小步算法(Shank’s Baby-Step-Giant-Step Algorithm)

这里介绍一种避开求逆元的BSGS（常数小

令$m = \lceil\sqrt p\rceil$，$x = im-j$

则 $y^{im-j} \equiv z$ $(mod$ $p)$

两边同乘$y^j$得：

$y^{im} \equiv zy^j$ $(mod$ $p)$

$m$、$y$、$z$已知，因此先枚举右边$zy^j,j \in [0,m-1]$.算出来的值放进map里。再接着枚举左边，$y^{im},i \in [1,m]$，如果发现map里有与之对应的值，返回$im-j$，即要求$x$.最后若未返回则无解.

（可以看出BSGS是确定了枚举上界$\lceil\sqrt p\rceil$的暴力枚举算法.

LL Qpow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1LL;
    for(; b; b >>= 1, a = a * a % p)
        if(b & 1) ans = ans * a % p;
    return ans;
}

LL BSGS(LL y, LL z) {
    map<int, int> M;
    LL m = ceil(sqrt(p + 0.5)), cj = z;
    for(int j = 0; j < m; j++) {
        M[cj] = j;
        cj = cj * y % p;
    }
    LL now = Qpow(y, m);
    cj = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        cj = cj * now % p;
        if(M.count(cj)) return i*m - M[cj];
    }
    return -1;
}

Extended BSGS

待更。