「学习笔记」泰勒级数

多项式函数是长这样的函数：

$$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n$$

它有一个很$Nice$的特点：代人$x$，在$O(n)$的时间内就可以求出$f(x)$，没有任何障碍.

但是这样的函数：

$$g(x)=e^x$$

$$h(x)=sin\;x$$

想得到$g(3)$或是$h(7)$就比较困难了。因此我们需要用多项式函数去”取代”这些奇怪的函数。

逼近$f(x)=e^x$在x靠近0时的函数值

step1：用$y=a_0+a_1x$去逼近它.

具体的方法是让它的斜率等于$f(x)$在$x=0$时的导数：1

让直线过$(0,1)$，于是得到的直线$y=x+1$

效果如下图：

在$x$离$0$很近的时候还是比较精确的.

step2：用$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2$这个二次多项式去逼近它.

具体方法是让它在$x=0$处的函数值、导数值、二阶导数值与$f(x)$相等.

$$f(x)=e^x,f(0)=1$$

$$f'(x)=e^x,f'(0)=1$$

$$f''(x)=e^x,f''(0)=1$$

再看这个二次多项式：

$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2,g(0)=a_0$$
$$g'(x)=a_1+2a_2x,g'(0)=a_1$$
$$g''(x)=2a_2,g''(0)=2a_2$$

因为要让$f(x),f'(x),f''(x)$与$g(x),g'(x),g''(x)$分别对应相等，所以：

$$a_0=1,a_1=1,2a_2=1$$

所以$g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}$

效果如下图.

已经非常接近了呢.

step3：用$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3$这个三次多项式去逼近它.

具体方法是让它在$x=0$处的函数值、导数值、二阶导数值、三阶导数值与$f(x)$相等.

$$f(x)=e^x,f(0)=1$$

$$f'(x)=e^x,f'(0)=1$$

$$f''(x)=e^x,f''(0)=1$$

$$f'''(x)=e^x,f'''(0)=1$$

再看这个三次多项式：

$$g(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3,g(0)=a_0$$
$$g'(x)=a_1+2a_2x+3a_2,g'(0)=a_1$$
$$g''(x)=2a_2+,6a_3x,g''(0)=2a_2$$
$$g'''(x)=6a_3,g'''(0)=6a_3$$

因为要让$f(x),f'(x),f''(x),f'''(x)$与$g(x),g'(x),g''(x),g'''(x)$分别对应相等，所以：

$$a_0=1,a_1=1,2a_2=1,6a_3$$

所以$g(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}$

效果如下图.

最后，推测得出结论:

$$e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$$

泰勒展开

一般来说，一个奇怪函数$f(x)$，可以通过多项式函数$g(x)$得到固定点$a$的近似值.$g(x)$的形式是这样的：

$$g(x)=b_0+b_1(x-a)+b_2(x-a)^2+b_3(x-a)^3+\ldots+b_n(x-a)^n$$

经过和之前相似的一系列的推导（雾），得到了$famous$的公式：

泰勒逼近（泰勒展开）。

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

把$a=0$代人，就得到了：

马克劳林逼近。

$f(x)\approx f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\frac{f'''(0)}{3!}x^3+\ldots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

泰勒级数的几个例子

泰勒公式基本就是这样了，下面是三个著名泰勒级数：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\ldots$$

$$sin\;x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\ldots$$

$$cos\;x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\ldots$$