D - Domination ZOJ - 概率DP

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本文探讨了ZOJ-3822 D-Domination问题，即在一个N*M的棋盘上，每次放置一枚棋子直至每行每列都有棋子，通过动态规划计算放置棋子个数的期望值。关键在于理解状态转移方程，如何计算不同状态下放置棋子的概率，最终求得期望。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

D - Domination
ZOJ - 3822
题意：给定一个N∗M的棋盘，每次任选一个位置放置一枚棋子，直到每行每列上都至少有一枚棋子，问放置棋子个数的期望。
思路：
注意天数k必须从至少得比max(i,j)大才有可能出现当前的状态
dp[i][j][k+1]+=dp[i][j][k]∗(n−k)/(S−k)没有新的行列出现只能从当前行列中选取新点（要出去原来的的点）
dp[i+1][j][k+1]+=dp[i][j][k]∗(N−i)∗j/(S−k)出现新的行但没有出现新的列所以可选的点为（n-i）*j
dp[i][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]∗(M−j)∗i/(S−k)出现新的列但没有出现新的行所以可选的点为（m-j）*i
dp[i+1][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]∗(N−i)∗(M−j)/(S−k)出现新的列也出现新的行所以可选的点为（m-j）*（n-i）.
概率算完了最后求期望，能够合法状态的期望但是每个dp里面存了这种状态出现的概率但是一旦有效之后放的就没有用了
所以相邻天数做差之后*天数求和就是期望值。

#include<stdio.h>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define maxn 55
int n,m,s,sp,t;
double dp[maxn][maxn][maxn*maxn];
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        double ans=0;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1][1]=1;
        s=n*m;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=m; j++)
            {
                sp=i*j;
                for(int k=max(i,j); k<=sp; k++)
                {
                    dp[i][j][k+1]+=dp[i][j][k]*(sp-k)/(s-k);
                    dp[i+1][j][k+1]+=dp[i][j][k]*(n-i)*j/(s-k);
                    dp[i][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]*(m-j)*i/(s-k);
                    dp[i+1][j+1][k+1]+=dp[i][j][k]*(n-i)*(m-j)/(s-k);
                }
            }
        for(int i=max(n,m); i<=m*n; i++)
            ans+=(dp[n][m][i]-dp[n][m][i-1])*i;
        printf("%.9lf\n",ans);
    }
    return 0;
}