[Bzoj3270]博物馆

最新推荐文章于 2020-09-26 14:03:36 发布

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概率期望

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高斯消元

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解决两人在图中随机游走并求相遇概率的问题，通过建立状态方程并使用高斯消元法求解。

题意

一开始两个人分别站在 $s$ 和 $t$ ,一个人在每个点有 $p$ 的概率不动,或者等概率地随机走到一个相邻的点

求两个人在每个点相遇的概率

题解

感觉是 $[HNOI2013]$ 游走的加强版来着

设

$d_i$ 表示点 $i$ 的点度, $p_i$ 表示在 $i$ 点不动的概率
$a_{i,j}$ 表示第一个人在 $i$ 点,第二个人在 $j$ 点的状态编号
$f[i]$ 达到表示 $i$ 状态的期望步数, $f[a_{s,t}]=1$

我们枚举一个点 $x$ 表示上一步第一个所在的位置, $y$ 表示第二个人的

当然 $x\neq y$ ,因为相等就已经停下了,不会对其他状态产生贡献了

可以很容易想到有 $4$ 种转移

f [a_{i, j}] = \sum {\begin{cases} p_{x} p_{y} f [a_{x, y}] & x = i, y = j \\ \frac{1 - p_{x}}{d_{x}} p_{y} f [a_{x, y}] & x \neq i, y = j \\ p_{x} \frac{1 - p_{y}}{d_{y}} f [a_{x, y}] & x = i, y \neq j \\ \frac{1 - p_{x}}{d_{x}} \frac{1 - p_{y}}{d_{y}} f [a_{x, y}] & x \neq i, y \neq j \end{cases}

$f[a_{i,j}]=\sum \begin{cases} p_xp_yf[a_{x,y}]&\text{$x=i,y=j$}\\ \frac{1-p_x}{d_x}p_yf[a_{x,y}]&\text{$x\neq i,y=j$}\\ p_x\frac{1-p_y}{d_y}f[a_{x,y}]&\text{$x=i,y\neq j$}\\ \frac{1-p_x}{d_x}\frac{1-p_y}{d_y}f[a_{x,y}]&\text{$x\neq i,y\neq j$} \end{cases}$

同样这个转移是存在环的,所以需要高斯消元,列式方法和上一题一样(~~同样的套路~~)

初值 $G[a_{s,t}][n^2+1]=1$ (因为 $f[a_{s,t}]=1+\sum\ldots$ )

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
const int N=405;
const double eps=1e-10;
typedef int arr[N];
typedef double d;
int n,m,s,t,Cnt;arr dg,a[N],mp[N];d p[N],ans[N],G[N][N];
inline int cmp(const d&x){return fabs(x)<eps?0:(x<0?-1:1);}
inline void Gauss(int n){
    int mx;d t;
    fp(i,1,n){mx=i;
        fp(j,i,n)if(cmp(G[mx][i]-G[j][i]))mx=i;
        if(mx^i)fp(j,i,n+1)swap(a[i][j],a[mx][j]);
        fp(j,i+1,n)if(cmp(G[j][i])){
            t=G[j][i]/G[i][i];
            fp(k,i,n+1)G[j][k]-=t*G[i][k];
        }
    }
    fd(i,n,1){
        fp(j,i+1,n)G[i][n+1]-=ans[j]*G[i][j];
        ans[i]=G[i][n+1]/G[i][i];
    }
}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
    while(m--){
        int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);
        mp[u][v]=mp[v][u]=1;++dg[u],++dg[v];
    }
    fp(i,1,n)scanf("%lf",p+i),mp[i][i]=1;
    fp(i,1,n)fp(j,1,n)a[i][j]=++Cnt;
    G[a[s][t]][Cnt+1]=1;
    fp(i,1,n)fp(j,1,n){
        int pos=a[i][j];G[pos][pos]=1;
        fp(x,1,n)if(mp[i][x])fp(y,1,n)if(mp[j][y]&&x^y){
            d p1,p2;
            if(i==x)p1=p[i];else p1=(1.0-p[x])/dg[x];
            if(j==y)p2=p[j];else p2=(1.0-p[y])/dg[y];
            G[pos][a[x][y]]+=-p1*p2;
        }
    }
    Gauss(Cnt);
    fp(i,1,n)printf("%.6lf ",ans[a[i][i]]);
return 0;
}