[CodeForces803F]Coprime Subsequences

最新推荐文章于 2024-09-25 17:55:41 发布

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本文介绍了一种高效算法，用于解决求解序列中子序列的最大公约数(GCD)为1的问题。通过预处理和利用数论性质，在O(mlogm)的时间复杂度内完成计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:给你一个序列，问你有多少个子序列的 $gcd=1$

考虑到 $m=max\{a_i\}$ 不是很大,我们可以这样做

$g_i$ 表示 $i$ 的个数

$f_i$ 表示 $i$ 的倍数的个数 $\Rightarrow f_i=\sum_{i|j}g_j$

$s_i$ 表示 $i|gcd$ 的子序列个数,显然 $s_i=2^{f_i}-1$

$ans_i$ 表示 $gcd=i$ 的子序列个数 $\Rightarrow ans_i=\sum_{i|j}\mu(\frac ji)*s(j)=s_i-\sum_{i|j}ans_j$

这样我们就可以通过枚举倍数在 $O(m\log m)$ 的时间里完成这道题了

#include<bits/stdc++.h>
#define fp(i,a,b) for(register int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(register int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(register int i=fi[u],v=e[i].to;i;v=e[i=e[i].nx].to)
#define file(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char ss[1<<17],*A=ss,*B=ss;
inline char gc(){return A==B&&(B=(A=ss)+fread(ss,1,1<<17,stdin),A==B)?-1:*A++;}
template<class T>inline void sd(T&x){
    char c;T y=1;while(c=gc(),(c<48||57<c)&&c!=-1)if(c==45)y=-1;x=c-48;
    while(c=gc(),47<c&&c<58)x=x*10+c-48;x*=y;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
template<class T>inline void we(T x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=1e5+5,P=1e9+7;
typedef int arr[N];
int n,m;arr f,Mi,ans;
inline int add(int a,int b){return a+=b,a>=P?a-P:a;}
inline int sub(int a,int b){return a-=b,a<0?a+P:a;}
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        file("s");
    #endif
    sd(n);int x;Mi[0]=1;
    fp(i,1,n)sd(x),cmax(m,x),++f[x],Mi[i]=add(Mi[i-1],Mi[i-1]);
    fp(i,1,m/2)for(int j=2*i;j<=m;j+=i)f[i]+=f[j];
    fd(i,m,1){
        ans[i]=Mi[f[i]]-1;
        for(int j=2*i;j<=m;j+=i)
            ans[i]=sub(ans[i],ans[j]);
    }we(ans[1]);
return Ot(),0;
}