二维前缀和！

最新推荐文章于 2025-05-21 20:24:30 发布
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二维前缀和是解决二维数组区间求和问题的有效方法。通过预处理，我们可以快速计算出任意矩形区域内的元素总和。文章介绍了二维前缀和的概念、预处理公式及其在实际计算时的运用，并提供了相关示例。

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二维前缀和

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给你一个二维平面，要求它的区间和，怎么办呢？
正所谓“暴力出奇迹”，我们当然可以枚举每一个区间的数然后相加，但是聪明的孩子就会开始思考，既然一维数组存在区间和的前缀和算法，那二维数组是不是一样可以呢？于是，二维前缀和就诞生了！

首先，何为二维前缀和？
答：其实就是字面意思 建立在二维平面上的前缀和。、

如下图中，红色区域中所有数的和就是( i, j )的前缀和。
在这里插入图片描述
当然，前缀和不会自己算好保存在二维数组里，所以，我们就要对它进行预处理。

预处理二维前缀和

先给出预处理公式：

f[i][j]+=f[i-1][j
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Banzed
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前缀和（二维）
weixin_63734305的博客
02-15 3062
前言 前面介绍了一维前缀和，二维前缀和是一维前缀和的在线升级，一维前缀和体现在数组，而二位前缀和体现在矩阵上。 一、什么是二维前缀和？ 基于立在一维前缀和的基础上，现在所求是矩阵内一个任意的子矩阵的数的和，这样的问题我们就可以用二维前缀和进行求解。 二、二维前缀和讲解 引入 对于一个矩阵 例如：定义一个矩阵g[n][m] const int n=3,m=4; int g[n][m]={{1,5,6,8},{9,6,7,3},{5,3,2,4}}; g[n][m] 1 5 6 8 9 6
二维前缀和的实现
wyuchen123的博客
07-15 1160
这是C++算法基础-基础算法专栏的第十二篇文章，详细讲解了二维前缀和的定义、过程、性质、代码实现等内容。
二维前缀和
Yee_mo的博客
02-14 786
C++ 二维前缀和、子矩阵的和
C++ 前缀和数组
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2401_83185143的博客
05-21 1096
前缀和算法通过预处理数组，计算从起始位置到每个位置的和，生成一个新的数组（前缀和数组）。利用该数组，可以快速计算任意区间的和，快速求出数组中某一段连续区间的和。
某学长讲课ppt（前缀和与差分，二维前缀和与差分）
03-23
本文将从基本概念入手，逐步深入到一维和二维前缀和与差分的计算方法，并通过实际应用场景来展示这些算法的强大之处。 #### 二、前缀和算法 **1. 定义与基本概念** 前缀和算法主要用于计算数组或序列中从起始位置...
前缀和-二维前缀和
qq_45689957的博客
04-12 1029
前缀和
洛谷 P3397：地毯 ← “二维前缀和 + 二维差分”模板题
hnjzsyjyj的专栏
01-20 998
推而广之，易得对二维区域内所有元素 +x 的代码为：d[i][y1]+=x，d[i][y2+1]-=x   （x1≤i≤x2）
二维前缀和详解
weixin_30394251的博客
09-04 393
引入 还是先从例题引入，给你一个二维平面，要求在$\Theta(1)$的时间复杂度内求出一个矩形内数的和。 显然，对于极端情况，二维平面退化成一维，那么我么可以用前缀和数组轻松解决，放在二维平面有该怎么办呢？ 我们就要进入一个新的名词：二维前缀和。 何谓二位前缀和 我们可以感性的将其理解为建立在二维平面上的前缀和，如下图： 红色区域所有数的和即为二维前缀和中点$(i,...
二维前缀和算法
double_app_le的博客
03-18 1033
s[N][N] 二维前缀和 画出二维表格图，求中间二维图， 则为， 中间图=大图-两个小图+更小图 #include using namespace std; const int N=1004; int s[N][N]; int n,m,q; int main() { cin>>n>>m>>q; for(int i=1;i<=n;i++) for(in...
基础算法学习——二维前缀和
qq_43824470的博客
09-27 1472
题目描述 二维前缀和思想 和一维前缀和一样 一维前缀和 题解 1）构造一个二维数组s[N][N]使得二维数组里的每一个元素都是原来数组的前缀和 s[i][j] = s[i][j-1]+s[i-1][j]-s[i-1][j-1]+a[i][j]; 2）要求子矩阵的和，则可以通过s[N][N]来求 s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]; 完整代码 #include<stdio.h> #define N 1001 int a[N]
[算法]二维数组前缀和
Belldrea的博客
11-13 3131
今天在学校oj平台做题时，有一道题目老是时间超限，后询问学长得知需要算法减少时间开销，于是习得了一个快速计算给定一个二维数组，求子数组的数组和，即二维前缀和。这样的好处是： 大大减少了原先通过两层for循环计算子数组所耗费的时间，只需要在插入数据时，对应的计算出二维前缀和数组，计算子矩阵的元素之和时不需要双层遍历，直接通过公式计算而的，这极大的减少了时间复杂度。输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。
ACWING 796. 子矩阵的和 (入门) (前缀和与差分)
这是博客描述
07-18 488
https://www.acwing.com/problem/content/798/ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; int main() { int n,m; cin>>n>>m; int q; cin>>q; int a[n+1][m+1]; int s[n+1][m+1]; memset(s,0,sizeof(s)); .
c++二维前缀和
03-18
### C++ 中实现二维前缀和算法 在 C++ 中，可以通过构建一个 `prefixSum` 数组来存储二维数组的前缀和。以下是基于给定引用中的方法以及常见实践的一个完整示例。 #### 构建二维前缀和的核心逻辑 对于一个大小为 \(N \times M\) 的二维数组 `nums`，可以定义一个新的二维数组 `prefixSum` 来保存每一位置上的前缀和。核心公式如下： \[ \text{prefixSum}[i][j] = \text{nums}[i][j] + \text{prefixSum}[i-1][j] + \text{prefixSum}[i][j-1] - \text{prefixSum}[i-1][j-1] \] 其中需要注意边界条件处理，当索引越界时对应的值应视为 0[^3]。 下面是完整的代码实现： ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 计算二维前缀和函数 void calculatePrefixSum(const vector<vector<int>>& nums, vector<vector<int>>& prefixSum) { int n = nums.size(); if (n == 0) return; int m = nums[0].size(); // 初始化 prefixSum 数组 prefixSum.assign(n, vector<int>(m, 0)); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < m; ++j) { // 边界条件判断 int top = (i > 0) ? prefixSum[i - 1][j] : 0; int left = (j > 0) ? prefixSum[i][j - 1] : 0; int topLeft = (i > 0 && j > 0) ? prefixSum[i - 1][j - 1] : 0; // 更新当前格子的前缀和 prefixSum[i][j] = nums[i][j] + top + left - topLeft; } } } int main() { // 输入样例数据 vector<vector<int>> nums = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }; vector<vector<int>> prefixSum; calculatePrefixSum(nums, prefixSum); // 输出结果 cout << "二维前缀和矩阵:" << endl; for (const auto& row : prefixSum) { for (const auto& val : row) { cout << val << "\t"; } cout << endl; } return 0; } ``` #### 关键点解析 1. **初始化**：创建与输入数组相同尺寸的 `prefixSum` 数组并将其初始值设为零。 2. **动态规划更新规则**：通过累加当前位置上方、左方的前缀和减去重叠部分（即左上角），从而得到新的前缀和值[^2]。 3. **时间复杂度分析**：该算法仅需一次遍历整个二维数组即可完成计算，因此总体的时间复杂度仍保持为 O(N * M)。
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