二维前缀和!

二维前缀和是解决二维数组区间求和问题的有效方法。通过预处理,我们可以快速计算出任意矩形区域内的元素总和。文章介绍了二维前缀和的概念、预处理公式及其在实际计算时的运用,并提供了相关示例。

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二维前缀和

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给你一个二维平面,要求它的区间和,怎么办呢?
正所谓“暴力出奇迹”,我们当然可以枚举每一个区间的数然后相加,但是聪明的孩子就会开始思考,既然一维数组存在区间和的前缀和算法,那二维数组是不是一样可以呢?于是,二维前缀和就诞生了!

首先,何为二维前缀和?
答:其实就是字面意思 建立在二维平面上的前缀和。、

如下图中,红色区域中所有数的和就是( i, j )的前缀和。
在这里插入图片描述
当然,前缀和不会自己算好保存在二维数组里,所以,我们就要对它进行预处理。

预处理二维前缀和

先给出预处理公式:

f[i][j]+=f[i-1][j
### C++ 中实二维前缀和算法 在 C++ 中,可以通过构建一个 `prefixSum` 数组来存储二维数组前缀和。以下是基于给定引用中的方法以及常见实践的一个完整示例。 #### 构建二维前缀和的核心逻辑 对于一个大小为 \(N \times M\) 的二维数组 `nums`,可以定义一个新的二维数组 `prefixSum` 来保存每一位置上的前缀和。核心公式如下: \[ \text{prefixSum}[i][j] = \text{nums}[i][j] + \text{prefixSum}[i-1][j] + \text{prefixSum}[i][j-1] - \text{prefixSum}[i-1][j-1] \] 其中需要注意边界条件处理,当索引越界时对应的值应视为 0[^3]。 下面是完整的代码实: ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 计算二维前缀和函数 void calculatePrefixSum(const vector<vector<int>>& nums, vector<vector<int>>& prefixSum) { int n = nums.size(); if (n == 0) return; int m = nums[0].size(); // 初始化 prefixSum 数组 prefixSum.assign(n, vector<int>(m, 0)); for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = 0; j < m; ++j) { // 边界条件判断 int top = (i > 0) ? prefixSum[i - 1][j] : 0; int left = (j > 0) ? prefixSum[i][j - 1] : 0; int topLeft = (i > 0 && j > 0) ? prefixSum[i - 1][j - 1] : 0; // 更新当前格子的前缀和 prefixSum[i][j] = nums[i][j] + top + left - topLeft; } } } int main() { // 输入样例数据 vector<vector<int>> nums = { {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9} }; vector<vector<int>> prefixSum; calculatePrefixSum(nums, prefixSum); // 输出结果 cout << "二维前缀和矩阵:" << endl; for (const auto& row : prefixSum) { for (const auto& val : row) { cout << val << "\t"; } cout << endl; } return 0; } ``` #### 关键点解析 1. **初始化**:创建与输入数组相同尺寸的 `prefixSum` 数组并将其初始值设为零。 2. **动态规划更新规则**:通过累加当前位置上方、左方的前缀和减去重叠部分(即左上角),从而得到新的前缀和值[^2]。 3. **时间复杂度分析**:该算法仅需一次遍历整个二维数组即可完成计算,因此总体的时间复杂度仍保持为 O(N * M)。
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