莫比乌斯函数之和（51nod 1244）

最新推荐文章于 2022-08-04 15:45:08 发布

Baiyi_destroyer

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本文介绍了莫比乌斯函数的基本概念及计算方法，通过具体的示例解释了如何求解区间内莫比乌斯函数之和，并给出了高效的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间a,ba,b，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Sample Input

3 10

Sample Output

-1

è¿éåå¾çæè¿°

先打表计算前2千万莫比乌斯函数值和前缀和，然后递归计算。

具体代码实现的时候还有两点优化的地方：

①M(⌊nk⌋)M(⌊nk⌋)值相同的kk有多个，可以用区间分块加速。
②为了避免重复计算，可以用哈希来实现记忆化递归

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

const int INF  = 0x3f3f3f3f;
const int Maxn = 1e7 * 2;
const int mod  = 2333333;

#define ll long long
#define mem(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
using namespace std;

int pcnt = 0, prime[1300000]; // 质数
short  mu[Maxn];           //   莫比乌斯函数值
bool vis[Maxn];

void init() {
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < Maxn; i++) {
        if (vis[i] == 0) {
            mu[i] = -1;
            prime[++pcnt] = i;
        }
        for (int j = 1; j <= pcnt && i * prime[j] < Maxn; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j] != 0)
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            else {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }

    for (int i = 2; i < Maxn; i++) mu[i] += mu[i - 1];   //  函数前缀和
}

struct Hash {
    long long key;
    int value, next;
} node[mod];
int cnt = 0, Head[mod] = {0};

void Insert(long long N, int v) {  // 记忆
    int ha = N % mod;
    node[++cnt].key = N;
    node[cnt].value = v;
    node[cnt].next = Head[ha];
    Head[ha] = cnt;
}


int M(long long N) {
    if (N < Maxn) return mu[N];
    int ha = N % mod;
    for (int i = Head[ha]; i != 0; i = node[i].next) {  
        if (node[i].key == N)   // 如果已经计算过
            return node[i].value;
    }
    int  ans = 0;
    for (long long i = 2, j; i <= N; i = j + 1) {
        j = N / (N / i);   // 分块加速
        ans += (j - i + 1) * M(N / i);
    }
    Insert(N, 1 - ans);  // 做记忆
    return 1 - ans;
}
int main() {
    init();
    long long a, b;
    while (cin >> a >> b) {
        cout << M(b) - M(a - 1) << endl;
    }
}

转自：https://blog.youkuaiyun.com/qq_33132383/article/details/72510274