SPOJ VLATTICE Visible Lattice Points 莫比乌兹反演入门题

最新推荐文章于 2019-11-01 20:05:53 发布

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#莫比乌斯反演

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本文介绍了一种算法，用于计算在三维空间中从原点能看到的整数坐标点的数量，特别关注于当这些点位于一个由参数n定义的立方体内时的情形。文章通过数学方法分析了问题，并提供了一个具体的实现方案。

题意

求在(0,0,0)到(n,n,n)这个立方体里从(0,0,0)能看到多少个点。50个case，n为1e6

思路

首先最直观的想法就是，能看到的点都是 gcd(x, y, z) = 1的点。即该点到原点的线段没有其他点。
这样还不够，因为这个式子里并不包含x，y，z 等于0的点。
讨论一下：

gcd(x, y, z) = 1 的点的个数 (1 ≤ x ≤ n, 1 ≤ y ≤ n, 1 ≤ z ≤ n)
3倍的 gcd(x, y) = 1的点的个数(x坐标平面, 但不包含坐标轴的点)
3 三条坐标轴上的点，每条只能看到一个点

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 4;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
bool check[maxn+10];
int prime[maxn+10];
int mu[maxn+10];
void Moblus(){
    memset(check,false,sizeof(check));
    mu[1] = 1;
    int tot = 0;
    for(int i = 2; i <= maxn; i++){
        if(!check[i]){
            prime[tot++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot; j++){
            if(i * prime[j] > maxn) break;
            check[i * prime[j]] = true;
            if( i % prime[j] == 0){
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
            else{
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }
        }
    }
}
ll F[maxn];
int main(){
    int n, T, kase = 1;
    cin>>T;
    Moblus();
    while(T--){
        cin>>n;
        ll f1 = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            //F[i] = (ll)(n / i) * (ll)(n / i) * (ll)(n / i ); - 这是三维的情况
            //F[i] = (ll)(n / i) * (ll)(n / i) * (ll)3; - 这是二维的情况 
            F[i] = (ll)(n / i) * (ll)(n / i) * (ll)(n / i + 3);
            f1 += F[i] * mu[i];
        }
        //这是一维的情况 
        f1 += 3;
        cout<<f1<<endl;
    }
}