兰道定理（竞赛图）

最新推荐文章于 2023-08-02 15:57:47 发布

wind__whisper

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分类专栏：图论构造文章标签：竞赛图

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本文详细阐述了兰道定理，涉及完全图的竞赛图构造、出度序列的性质以及证明过程，重点在于理解定理如何确保特定序列能形成竞赛图的条件。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

所谓兰道定理，就是兰道定下的道理

（逃）

解析

每条边被规定了方向的完全图叫做竞赛图
竞赛图中，设每个点的出度为 $u_i$
显然有：
$\sum u_i=\dfrac{n\times(n-1)}{2}$
而兰道定理的内容是：
若n个点的出度序列升序排序后为 $s_i$ ，那么其能构成竞赛图的充要条件是，对于任意的k属于[1,n]，都有：
$\sum_{i=1}^ks_i>=\dfrac{k\times(k-1)}{2}$

当且仅当k=n时，取等
必要性比较显然，现在的关键是充分性
兰道定理的证明类似于裴蜀定理，是一种构造的方法
先构造出一个竞赛图 $T$ ，满足任意一点 i 都只对比自己编号小的点连边，设其出度为 $u_i$
显然， $u_i=i-1$
然后考虑如下操作：

找到第一个位置，使得 $s_i>u_i$ ，设为 $x$
找到最靠后的 $y$ ，满足 $s_x=s_y$ （xy可以相等）
找到第一个位置，使得 $s_i<u_i$ 设为 $z$
此时由于 $u_z > s_z>=s_y>u_y$ ，可以得出， $u_z-u_y>=2$ ，因此，一定存在第三个点p，使得z连向p且p连向y
调换 $(z, p)$ 和 $(y, p)$ 的方向，此时只有 $u_z$ 减小1， $u_y$ 增大1，而 $u_p$ 不变
不断重复以上流程，直到 $u$ 和 $s$ 完全相同

代码

CF850D：Tournament Construction

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3e5+100;
const int mod=1e9+7;
double eps=1e-10;
#define ll long long
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();};
	while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();};
	return x*f;
}

int n,m;

int dp[35][100][2050],num[35][100][2050];
int a[35],pre[35];
int u[2005],s[2005],tot;
void find(int k,int x,int w){
	if(k==0) return;
	find(k-1,x-num[k][x][w],w-num[k][x][w]*a[k]);
	for(int i=1;i<=num[k][x][w];i++) s[++tot]=a[k];
	return;
}
bool jd[2050][2050];
inline void rev(int x,int y){
	if(jd[x][y]){
		u[x]--;u[y]++;
	}
	else{
		u[y]--;u[x]++;
	}
	jd[x][y]^=1;jd[y][x]^=1;
}
int main(){
	#ifndef ONLINE_JUDGE
	//freopen("a.in","r",stdin);
	//freopen("a.out","w",stdout);
	#endif
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	sort(a+1,a+1+n);
	dp[0][0][0]=1;
	int k(0);
	for(k=1;;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(i>k) break;
			for(int w=k*(k-1)/2;w<=2000;w++){
				for(int j=1;j<=k&&j*a[i]<=w;j++){
					if(dp[i-1][k-j][w-j*a[i]]){
						num[i][k][w]=j;
						dp[i][k][w]=1;
					}
				}
			}
		}
		if(dp[n][k][k*(k-1)/2]) break;
	}
	//printf("ok k=%d\n",k);
	find(n,k,k*(k-1)/2);
	//for(int i=1;i<=k/2;i++) swap(s[i],s[k-i+1]);
	for(int i=1;i<=k;i++) u[i]=i-1;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		for(int j=1;j<i;j++) jd[i][j]=1;
	}
	while(1){
		int x(0),y(0),z(0),p(0);
		//for(int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",s[i]);putchar('\n');
		//for(int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",u[i]);putchar('\n');
		for(int i=1;i<=k;i++){
			if(s[i]>u[i]){
				x=i;break;
			}
		}
		if(!x) break;
		y=x;
		for(int i=x+1;i<=k;i++) if(u[i]==u[x]) y=x;
		for(int i=k;i>=1;i--) if(u[i]>s[i]) z=i;
		//printf("x=%d y=%d z=%d\n",x,y,z);
		for(p=1;p<=k;p++){
			if(jd[z][p]&&!jd[y][p]){
				//printf("x=%d y=%d z=%d p=%d\n",x,y,z,p);
				rev(z,p);rev(y,p);break;
			}
		}
	}
	
	printf("%d\n",k);
	for(int i=1;i<=k;i++){
		for(int j=1;j<=k;j++){
			printf("%d",jd[i][j]);
		}
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}
/*
2 3
7 4 9 9
1 2 8
3 1
4 2 4
*/