线性代数：如何由AB=E 推出 BA=AB？

最近在二刷线性代数，在看逆矩阵定义的时候发现了这个问题。于是决定写一写，给出一种证明方式。

一、由逆矩阵的定义出发

这是我在mooc-山东大学-线性代数（秦静老师）第一章第十讲的ppt上截取的定义。 看到这个定义我就在想：

如果A和B是n阶方阵，那么AB=E（E为n阶单位阵）这一条件能不能说明B是A的逆矩阵，A是可逆的呢？或者说，AB=E能不能推导出AB=BA呢？

 于是我去网上搜索，发现答案是肯定的。但好多证明貌似有些循环论证的味道，在证明AB=BA时用到了A是可逆矩阵的条件以及以A为可逆矩阵为基础的结论，问题是：现在AB=E不能充分说明A就是可逆矩阵！

二、伴随矩阵

在不能用A为可逆矩阵这一条件，我想到了一种严密的证明方法。

需要给出两个简单的前提条件：

如果A是n阶方针，是A的伴随矩阵，那么有：

可以看出，，伴随矩阵的性质非常好，无论是左乘A还是由乘A都能得到一个数量矩阵！

三、同阶方阵的有趣结论

这一结论是可以证明的，但过程比较复杂。涉及矩阵具体的展开，矩阵的构造，矩阵的初等变换。所以我不写了。

四、推理过程

如果n阶方阵A和n方矩阵B相等，则它们同时左乘一个同样的n阶方阵，得到的n阶方阵显然相等。

如果,由于AB和E均为n阶方阵，故它们同时左乘n阶方阵有：

由于任何n阶方阵右乘n阶单位阵等于它本身，且

所以有：

那么，两边同时倍乘，得到：

 

这边可能会遇到的疑问，但这是不可能的。由于A和B都是n阶方阵，有如下结论：

显而易见：

所以，如果矩阵A和B都是n阶方阵，仅仅AB=E这一条件就能说明矩阵A是可逆的！