连载5：寻找符合条件的整数（《编程之美》第2.8节）

问题

    《编程之美》第2.8节：任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M（M >1），使得N * M 的十进制表示形式里只含有1 和0，例如：

1 * 1 = 1 2 * 5 = 10
3 * 37 = 111 4 * 25 = 100
5 * 2 = 10 6 * 185 = 1,110
7 * 143 = 1,001 8 * 125 = 1,000
9 * 12,345,679 = 111,111,111

解法一

    既然乘积是类似101011…的形式，那么可以使用二叉树去遍历所有乘积，从小到大，直到找到满足条件的。例如，下图是N=3 时搜索的情况：

 

    需要说明的是，在搜索二叉树的同一层中，相同余数的节点以后 发展出来的节点余数也是相同的（若X≡Y (mod N)，则X*10≡Y *10 (mod N) X*10+1≡Y *10+1 (mod N)），所以只需要保留一个节点即可。
    关键代码如下：

          var remainders = new int[n]; //设置一个数组来保存每层的余数（N 的余数个数≤N）
            var queue = new Queue<BigInt>(); //设置一个队列来实现分层搜索二叉树
            queue.Enqueue((BigInt)1);
            while (queue.Count > 0)
            {
                var v = queue.Dequeue();
                var r = v % n;
                if (r == 0)
                {
                    Console.WriteLine("{0} * {1} = {2}", n, v / n, v);
                    break;
                }
                if (remainders[r] == v.Digit) continue;
                else remainders[r] = v.Digit;
                v *= 10; queue.Enqueue(v);
                queue.Enqueue(v + 1);
            }

其中：BigInt 是自习开发辅助类库中的个，用于计算非常大的整数。

解法二

    我们也可以反过来考虑，去遍历乘数，例如，当N=13 时，采用“试乘”的办法去得到M——13 的个位数是3，能够让3 变成1 的数只有7（3×7＝21），依次类推：

 

    需要注意的是，个位不可以“试乘”0，因为这样得到的M 不是最小的（还可以缩小10 倍），其它高位都可以“试乘0。

    另外，还可能出现无限循环的“试乘”：

 

    当N 为d 位数的时候，“试乘”可能会出现d 位循环出现，需要排除，关键代码如下：

        void Find_01_Format(BigInt x, BigInt y, BigInt z, int digit, Dictionary<string> cycleDic)
        {
            for (int m = digit > 0 ? 0 : 1; m < 10; m++)
            {
                var sum = m * x[0] + z[digit];
                var u = sum % 10;
                if (u == 1 || u == 0)//找到一个能将最后乘积digit 位变为0 或1 的数
                  {
                    y[digit] = m;
                    var p = (x * m).LeftShift(digit).Add(z);
                    if (min.Digit > 0 && p >= min) continue;//大于当前最小值，剪枝
                       //<检查是否找到结果> <检查是否出现循环>
                    Find_01_Format(x, y.Clone(), p, digit + 1, copyDic);
                }
            }
        }

其中：
x 是被乘数，y 是乘数，z 是乘积
digit 是当前“试乘”的位数
cycleDic 是用于判断是否出现循环的哈希表
BigInt. LeftShift(k)是将10 进制数左移k 位，等价于×10k
BigInt.Add(n)是将本数字加上n 后返回自身。
min 保存的当前搜索到的最小的z

解法三

    当N 比较大的时候，两种方法都比较慢，例如N=987654 时：987654 * 1,113,861,738,118,815 = 1,100,110,001,100,000,110,010

    能否在秒级解决10 万以下的数呢？
    可以这样考虑，我们要得到的乘积只包含0 和1，即：
    z = b1 * 10^0 + b2 * 10^1 + b3 * 10^2 + … + bk * 10^k-1
    其中，bi = 0 或1，i = 1，2，3，…，k
    考虑无穷数列：10^0 % N，10^1 % N，10^2 % N，…，由于N 的余数总是< N，所以这个数列必将存在循环节，例如，当N = 13 时，此数列为：

1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, 10, 9, 12, 3, 4, 1, 10…

    现在问题就可以转化为：在这个无穷数列中，挑选一些数出来，使得他们的和能够整除N，一种挑选方案实际上对应于b1 b2 b3…的一种真值指派（每一位选中为1，否则为0）。

    到此我们已经发现，这个问题可以采用“分级组合法”：
    给定无穷序列100 % N，101 % N，102 % N，…求1～n 级的情况。第i 级保存序列中i 个数相加所能得到和，直到找到最小的一个和能够整除N。
 

    代码如下：

           var heap = new List<SumSet>(); // SumSet 类保存数列中n 个数相加所能得到的和
             heap.Add(new SumSet());
            heap[0].Add(0);
            int d = 1, b = 1, s = 0, cycleStart = -1;
            SumSet.Sum min = null;
            while (true)
            {
                var r = b % n;
                //找到循环节开始的那个元素
                 if (cycleStart < 0 && heap.Count > 1 && heap[1].ContainsKey(r)) cycleStart = r;
               if (r == cycleStart) s++; //进入下一个循环周期，前s 级不需要再扩展
                 bool found = false;
                heap.Add(new SumSet());
                for (int lvl = d - 1; lvl >= s; lvl--)
                    foreach (var sum in heap[lvl])
                    {
                        var newSum = sum.Add(r, d - 1);
                        if (newSum.value % n == 0)
                        {
                            found = true;
                            if (min == null || newSum < min) min = newSum;
                        }
                        heap[lvl + 1].Renew(newSum);
                    }
                if (found) break;
                b *= 10 % n;
                b %= n;
                d++;
            }

其中：
n 是给定的数字N
d 表示当前计算到无穷数列的哪一位
b 依次是10^0，10^1，10^2，10^3…，为了防止越界，计算过程中先求余，结果不变。

讨论

    通过“分级组合法”基本能够秒级解决10 万以下的数字了，逐数测试时，相比前面两法“卡卡”，真可谓酣畅淋漓！
    由于从下往上看每级元素数量列呈现“橄榄型”——中间多两头少，在面对更大的数字的时候，未能到达此数字之前，就被困扰大量计算中，类似“广度优先搜索”。那么在需要计算这么大的数字之前，还可以改进此算法，利用“深度优先搜索”、“启发式搜索”，或者遗传算法给出近似解。

作者：Silver，原文链接：http://gpww.blog.163.com/blog/static/11826816420099782740350/

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