C++进阶—map和set

第一章：关联式容器

在初阶阶段，我们已经接触过STL中的部分容器，比如：vector、list、deque、forward_list(C++11)等，这些容器统称为序列式容器，因为其底层为线性序列的数据结构，里面存储的是元素本身。那什么是关联式容器？它与序列式容器有什么区别？

关联式容器也是用来存储数据的，与序列式容器不同的是，其里面存储的是<key, value>结构的键值对，在数据检索时比序列式容器效率更高。

第二章：键值对

用来表示具有一一对应关系的一种结构，该结构中一般只包含两个成员变量key和value，key代表键值，value表示与key对应的信息。比如：现在要建立一个英汉互译的字典，那该字典中必然有英文单词与其对应的中文含义，而且，英文单词与其中文含义是一一对应的关系，即通过该应该单词，在词典中就可以找到与其对应的中文含义。

SGI-STL中关于键值对的定义：

template <class T1, class T2>
struct pair {
	typedef T1 first_type;
	typedef T2 second_type;
	T1 first;
	T2 second;
	pair() : first(T1()), second(T2()) {}
	pair(const T1& a, const T2& b) : first(a), second(b) {}
};

第三章：树形结构的关联式容

3.1 set

3.1.1 set的介绍

set文档介绍

翻译：

1. set是按照一定次序存储元素的容器
2. 在set中，元素的value也标识它(value就是key，类型为T)，并且每个value必须是唯一的。set中的元素不能在容器中修改(元素总是const)，但是可以从容器中插入或删除它们。
3. 在内部，set中的元素总是按照其内部比较对象(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. set容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_set容器慢，但它们允许根据顺序对子集进行直接迭代。
5. set在底层是用二叉搜索树(红黑树)实现的。

注意：

1. 与map/multimap不同，map/multimap中存储的是真正的键值对<key, value>，set中只放value，但在底层实际存放的是由<value, value>构成的键值对。
2. set中插入元素时，只需要插入value即可，不需要构造键值对。
3. set中的元素不可以重复(因此可以使用set进行去重)。
4. 使用set的迭代器遍历set中的元素，可以得到有序序列
5. set中的元素默认按照小于来比较
6. set中查找某个元素，时间复杂度为：$log_2 n$
7. set中的元素不允许修改(为什么?)
8. set中的底层使用二叉搜索树(红黑树)来实现

3.1.2 set的使用

1. set的模板参数列表

T：set中存放元素的类型，实际在底层存储<value, value>的键值对。
Compare：set中元素默认按照小于来比较
Alloc：set中元素空间的管理方式，使用STL提供的空间配置器管理

2. set的构造

函数声明	功能介绍
set (const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	构造空的 set
set (InputIterator first, InputIterator last, const Compare& comp = Compare(), const Allocator& = Allocator() );	用[first, last)区间中的元素构造set
set ( const set<Key,Compare,Allocator>& x);	set的拷贝构造

3. set的迭代器

函数声明	功能介绍
iterator begin()	返回set中起始位置元素的迭代器
iterator end()	返回set中最后一个元素后面的迭代器
const_iterator cbegin() const	返回set中起始位置元素的const迭代器
const_iterator cend() const	返回set中最后一个元素后面的const迭代器
reverse_iterator rbegin()	返回set第一个元素的反向迭代器，即end
reverse_iterator rend()	返回set最后一个元素下一个位置的反向迭代器，即rbegin
const_reverse_iterator crbegin() const	返回set第一个元素的反向const迭代器，即cend
const_reverse_iterator crend() const	返回set最后一个元素下一个位置的反向const迭代器，即crbegin

4. set的容量

函数声明	功能介绍
bool empty () const	检测set是否为空，空返回true，否则返回true
size_type size() const	返回set中有效元素的个数

5. set修改操作

函数声明	功能介绍
pair<iterator,bool> insert ( const value_type& x )	在set中插入元素x，实际插入的是<x, x>构成的键值对，如果插入成功，返回<该元素在set中的位置，true>,如果插入失败，说明x在set中已经存在，返回<x在set中的位置，false>
void erase ( iterator position )	删除set中position位置上的元素
size_type erase ( const key_type& x )	删除set中值为x的元素，返回删除的元素的个数
void erase ( iterator first, iterator last )	删除set中[first, last)区间中的元素
void swap ( set<Key,Compare,Allocator>& st );	交换set中的元素
void clear ( )	将set中的元素清空
iterator find ( const key_type& x )	const 返回set中值为x的元素的位置
size_type count ( const key_type& x ) const	返回set中值为x的元素的个数

6. set的使用举例

//set
void test_set1() {
	//查找在不在
	//排序 + 去重
	set<int> s;
	s.insert(5);
	s.insert(2);
	s.insert(6);
	s.insert(1);
	s.insert(1);//重复值无法插入
	s.insert(2);
	//pair是insert的返回值，通过查看返回值才知道为什么插入不了
	pair<set<int>::iterator, bool> ret1 = s.insert(5);
	cout << ret1.second << endl;

	auto ret2 = s.insert(5);
	cout << ret2.second << endl;

	set<int>::iterator it = s.begin();
	while (it != s.end()) {
		//*it = 10;//set不支持修改
		cout << *it << " ";
		++it;
	}
	cout << endl;


	//可以使用范围for，因为有迭代器
	for (auto e : s) 
		cout << e << " ";
	cout << endl;


	s.erase(2);//传value删除。size_type erase (const value_type& val);
	s.erase(3);//删除不存在的值，没有影响
	it = s.find(3);//找不到返回end()
	if (it != s.end())
		//如果erase的迭代器无效，会崩溃
		s.erase(it);//传迭代器删除。void erase (iterator position);
	
	for (auto e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;

	//返回val的个数，因为元素都是唯一的，所以只返回1或0
	//用count判断元素是否存在
	if (s.count(3)) cout << "3在" << endl;
	else cout << "3不在" << endl;
}

void test_set2() {
	set<int> myset;
	set<int>::iterator itlow, itup;

	for (int i = 1; i < 10; i++) myset.insert(i * 10); // 10 20 30 40 50 60 70 80 90
	
	itlow = myset.lower_bound(30);//返回30的位置
	//itlow = myset.lower_bound(25);//跟30的结果一样，返回第一个>=val位置的迭代器
	itup = myset.upper_bound(60);//返回70位置。因为迭代器区间是左闭右开。 返回第一个>val位置的迭代器
	//lower_bound和upper_bound返回[30,70)的区间

	//虽然erase删除[30,70)左闭右开区间，但从上面的lower_bound和upper_bound参数来看
	//可以理解为删除[30,60]的左闭右闭区间
	myset.erase(itlow, itup);

	cout << "myset contains:";
	for (auto e : myset)
		cout << e << " ";//10 20 70 80 90
	cout << endl;
}

void test_set3() {
	set<int> myset;
	for (int i = 1; i <= 5; i++) myset.insert(i * 10);   // myset: 10 20 30 40 50

	pair<set<int>::const_iterator, set<int>::const_iterator> ret;
	ret = myset.equal_range(30);
	//ret = myset.equal_range(35);//第一和第二返回的都是40

	cout << "the lower bound points to: " << *ret.first << '\n';//30  返回>=val
	cout << "the upper bound points to: " << *ret.second << '\n';//40 返回>val
}

3.2 map

3.2.1 map的介绍

map的文档简介

翻译：

1. map是关联容器，它按照特定的次序(按照key来比较)存储由键值key和值value组合而成的元素。
2. 在map中，键值key通常用于排序和唯一的标识元素，而值value中存储与此键值key关联的内容。键值key和值value的类型可能不同，并且在map的内部，key与value通过成员类型value_type绑定在一起，为其取别名称为pair：typedef pair<const key, T> value_type;
3. 在内部，map中的元素总是按照键值key进行比较排序的。
4. map中通过键值访问单个元素的速度通常比unordered_map容器慢，但map允许根据顺序对元素进行直接迭代(即对map中的元素进行迭代时，可以得到一个有序的序列)。
5. map支持下标访问符，即在[]中放入key，就可以找到与key对应的value。
6. map通常被实现为二叉搜索树(更准确的说：平衡二叉搜索树(红黑树))。

3.2.2 map的使用

1. map的模板参数说明

key：键值对中key的类型
T：键值对中value的类型
Compare：比较器的类型，map中的元素是按照key来比较的，缺省情况下按照小于来比较，一般情况下(内置类型元素)该参数不需要传递，如果无法比较时(自定义类型)，需要用户自己显式传递比较规则(一般情况下按照函数指针或者仿函数来传递)
Alloc：通过空间配置器来申请底层空间，不需要用户传递，除非用户不想使用标准库提供的空间配置器
注意：在使用map时，需要包含头文件。 

2. map的构造

函数声明	功能介绍
map()	构造一个空的map

3. map的迭代器

函数声明	功能介绍
begin()和end()	begin:首元素的位置，end最后一个元素的下一个位置
cbegin()和cend()	与begin和end意义相同，但cbegin和cend所指向的元素不能修改
rbegin()和rend()	反向迭代器，rbegin在end位置，rend在begin位置，其++和--操作与begin和end操作移动相
crbegin()和crend()	与rbegin和rend位置相同，操作相同，但crbegin和crend所指向的元素不能修改

4. map的容量与元素访问

函数声明	功能简介
bool empty ( ) const	检测map中的元素是否为空，是返回true，否则返回false
size_type size() const	返回map中有效元素的个数
mapped_type& operator[] (const key_type& k)	返回key对应的value

问题：当 key 不在 map 中时，通过 operator 获取对应 value 时会发生什么问题？

注意：在元素访问时，有一个与operator[]类似的操作at()(该函数不常用)函数，都是通过key找到与key对应的value然后返回其引用，不同的是：当key不存在时，operator[]用默认value与key构造键值对然后插入，返回该默认value，at()函数直接抛异常。

5. map中元素的修改

函数声明	功能简介
pair<iterator,bool> insert ( const value_type& x )	在map中插入键值对x，注意x是一个键值对，返回值也是键值对：iterator代表新插入元素的位置，bool代表释放插入成功
void erase ( iterator position )	删除position位置上的元素
size_type erase ( const key_type& x )	删除键值为x的元素
void erase ( iterator first, iterator last )	删除[first, last)区间中的元素
void swap ( map<Key,T,Compare,Allocator>& mp )	交换两个map中的元素
void clear ( )	将map中的元素清空
iterator find ( const key_type& x )	在map中插入key为x的元素，找到返回该元素的位置的迭代器，否则返回end
const_iterator find ( const key_type& x ) const	在map中插入key为x的元素，找到返回该元素的位置的const迭代器，否则返回cend
size_type count ( const key_type& x ) const	返回key为x的键值在map中的个数，注意map中key是唯一的，因此该函数的返回值要么为0，要么为1，因此也可以用该函数来检测一个key是否在map中

6. map的使用举例

//map
void test_map1() {
	//pair<iterator,bool> insert (const value_type& val);
	//value_type	pair<const key_type,mapped_type>

	//pair的第一个参数应该是const修饰，但这里可以自动转换
	//因为template<class U, class V> pair(const pair<U, V>& pr);
	//当insert需要pair<const string, string>，而传入pair<string, string>时：
	//编译器会调用这个模板构造函数，
	//将pair<string, string>隐式转换为pair<const string, string>。
	map<string, string> dict;
	dict.insert(pair<string, string>("sort", "排序"));
	dict.insert(pair<string, string>("insert", "插入"));
	dict.insert(pair<const char*, const char*>("left", "左边"));

	//template <class T1, class T2>
	//pair<T1, T2> make_pair(T1 x, T2 y) { 
	//	return (pair<T1, T2>(x, y));
	//}
	//因为上方的函数模版，实际中更常用下面的写法
	dict.insert(make_pair("right", "右边"));//这里的T1和T2推衍出来是const char*
	string s1("xxx"), s2("yyy");
	dict.insert(make_pair(s1, s2));


	//[]作用实例，注：先看test_map2()关于[]的解析
	dict["erase"];//没有该元素，就是插入。
	cout << dict["erase"] << endl;//查找，value是空字符串
	dict["erase"] = "删除";//有，就是修改
	cout << dict["erase"] << endl;
	dict["test"] = "测试";//插入+修改
	cout << dict["test"] << endl;


	//map<string, string>::iterator it = dict.begin();
	//while (it != dict.end()) {
	//	cout << (*it).first << ":" << (*it).second << endl;
	//	cout << it.operator->()->first << ":" << it->second << endl;
	//	//it.operator->()这里是函数调用，返回一个指针
	//	++it;
	//}

	//for (auto& kv : dict) {
	//	//kv.first += 'x';//key不支持修改
	//	kv.second += 'x';
	//	cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
	//}
}

void test_map2() {
	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	map<string, int> countMap;
	for (auto& str : arr) {//遍历arr数组
		//方法一
		//auto ret = countMap.find(str);//查找countMap是否有该元素
		//if (ret == countMap.end()) countMap.insert(make_pair(str, 1));//没有就插入
		//else ret->second++;//有就++value

		//方法二
		countMap[str]++;
		//[]里面传key，返回key对应value的引用
	}
	for (auto& kv : countMap)
		cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
	
	//mapped_type& operator[] (const key_type& k);
	//(*((this->insert(make_pair(k,mapped_type()))).first)).
	//pair<iterator,bool> insert (const value_type& val);
	//要弄懂operator[]先要看insert返回值，关于insert返回值pair。
	//插入成功 pair<新插入key所在节点的iterator，true>
	//插入失败 pair<已存在key所在节点的iterator，false>
	//[]可以改写为下方
	//V& operator[](const K& key) {
	//	pair<iterator, bool> ret = insert(key, V());
	//	ret.firset->second;
	//}
	//取pair里的iterator就可以访问second
}

3.3 multiset

3.3.1 multiset的介绍

multiset文档介绍

[翻译]：

1. multiset是按照特定顺序存储元素的容器，其中元素是可以重复的。
2. 在multiset中，元素的value也会识别它(因为multiset中本身存储的就是<value, value>组成的键值对，因此value本身就是key，key就是value，类型为T). multiset元素的值不能在容器中进行修改(因为元素总是const的)，但可以从容器中插入或删除。
3. 在内部，multiset中的元素总是按照其内部比较规则(类型比较)所指示的特定严格弱排序准则进行排序。
4. multiset容器通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multiset容器慢，但当使用迭代器遍历时会得到一个有序序列。
5. multiset底层结构为二叉搜索树(红黑树)。

注意：

1. multiset中再底层中存储的是<value, value>的键值对
2. mtltiset的插入接口中只需要插入即可
3. 与set的区别是，multiset中的元素可以重复，set是中value是唯一的
4. 使用迭代器对multiset中的元素进行遍历，可以得到有序的序列
5. multiset中的元素不能修改
6. 在multiset中找某个元素，时间复杂度为$O(log_2 N)$
7. multiset的作用：可以对元素进行排序

3.3.2 multiset的使用

此处只简单演示set与multiset的不同，其他接口接口与set相同

void test_set4() {
	multiset<int> s;
	s.insert(5);
	s.insert(2);
	s.insert(6);
	s.insert(1);
	s.insert(1);
	s.insert(2);
	s.insert(1);
	s.insert(5);
	s.insert(2);

	multiset<int>::iterator it = s.begin();
	while (it != s.end()) {
		cout << *it << " ";
		++it;
	}
	cout << endl;

	for (auto e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;

	it = s.find(2);//有多个2，返回中序的第一个2
	while (it != s.end()) {
		cout << *it << " ";
		++it;
	}
	cout << endl;

	cout << s.count(1) << endl;//count更大的意义是为multiset设计

	//返回一个范围的边界，该范围包括容器中等效于 val 的所有元素。
	//[>=val, >val)
	//auto ret = s.equal_range(2);//找到所有2。
	//s.erase(ret.first, ret.second);//删除所有2
	size_t n = s.erase(2);//该方式也可以删除所有2
	cout << n << endl;//erase的返回值size_t可以知道删除了几个相同值
	for (auto e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;
}

3.4 multimap

3.4.1 multimap的介绍

multimap文档介绍

翻译：

1. Multimaps是关联式容器，它按照特定的顺序，存储由key和value映射成的键值对<key, value>，其中多个键值对之间的key是可以重复的。
2. 在multimap中，通常按照key排序和唯一的标识元素，而映射的value存储与key关联的内容。key和value的类型可能不同，通过multimap内部的成员类型value_type组合在一起，value_type是组合key和value的键值对：typedef pair<const Key, T> value_type;
3. 在内部，multimap中的元素总是通过其内部比较对象，按照指定的特定严格弱排序标准对key进行排序的。
4. multimap通过key访问单个元素的速度通常比unordered_multimap容器慢，但是使用迭代器直接遍历multimap中的元素可以得到关于key有序的序列。
5. multimap在底层用二叉搜索树(红黑树)来实现。

注意：multimap和map的唯一不同就是：map中的key是唯一的，而multimap中key是可以重复的。

3.4.2 multimap的使用

multimap中的接口可以参考map，功能都是类似的。
注意：

1. multimap中的key是可以重复的。
2. multimap中的元素默认将key按照小于来比较
3. multimap中没有重载operator[]操作(同学们可思考下为什么?)。
4. 使用时与map包含的头文件相同

3.5 在OJ中的使用

1. 692. 前K个高频单词 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    struct KvCom{
        bool operator()(const pair<string, int>& kv1, const pair<string, int>& kv2) {
            // return kv1.second > kv2.second;//不能只比较value
            return kv1.second > kv2.second || 
                   (kv1.second == kv2.second && kv1.first < kv2.first);
        }
    };
    vector<string> topKFrequent(vector<string>& words, int k) {
        map<string, int> countMap;
        for (auto& str : words)//先遍历vector并统计每个单词的次数
            countMap[str]++;

        //不能直接使用sort排序，因为sort要求随机访问迭代器
        //但map的是双向迭代器，所以需要处理
        //将map的数据以pair的形式插入到vector中，因为vector支持任意迭代器区间初始化
        //但是，还不能使用sort直接排序。虽然pair支持比较，
        //但pair的比较是first或second任意一个小就小
        //所以需要自定义一个仿函数比较pair提供给sort
        //map已经按字典顺序排序，但sort是不稳定排序(底层是快排)，打乱了map的字典顺序
        //所以仿函数不能只比较value
        vector<pair<string, int>> kvV(countMap.begin(), countMap.end());
        sort(kvV.begin(), kvV.end(), KvCom());

        vector<string> v;
        for (size_t i = 0; i < k; ++i)
            v.push_back(kvV[i].first);    
        return v;
    }
};

2. 349. 两个数组的交集 - 力扣（LeetCode）

class Solution {
public:
    vector<int> intersection(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        //一个vector的数据插入到set中，用另一个vector的元素来查找不可行
        //因为两个vector中都可能会有重复数据
        //nums1 = [1,2,2,1], nums2 = [2,2]
        //如果用nums2里的两个2去set中查找都会有，无法判断

        //set可以排序+去重
        set<int> map1(nums1.begin(), nums1.end());
        set<int> map2(nums2.begin(), nums2.end());

        //找交集 - 双指针
        //set1：4 5 8    set2：4 8 9
        //1.相同就是交集值，同时++
        //2.不相同，小的++。因为排过序，小的不会和另一个map后面的值相同
        //有一个结束就结束

        //找差集
        //1.相同，同时++
        //2.不相同，小的++。小的是差集，因为排过序，小的不会和另一个map后面的值相同
        //一个结束，另一个是差集
        set<int>:: iterator it1 = map1.begin();
        auto it2 = map2.begin();
        vector<int> v;
        while (it1 != map1.end() && it2 != map2.end()) {
            if (*it1 < *it2) 
                ++it1;
            else if (*it2 < *it1)
                ++it2;               
            else{
                v.push_back(*it1);
                ++it1;
                ++it2;
            }
        }
        return v;
    }
};

第四章：底层结构

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

4.1 AVL 树

4.1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在$O(log_2 n)$，搜索时间复杂度O($log_2 n$)。 

4.1.2 AVL树节点的定义

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0) {
	}
};

4.1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const T& data) {
	// 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	// 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树的平衡性

	//pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
	//的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
	// 1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
	// 2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可	  
	//此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
	// 1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，
	//    插入后被调整成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
	// 2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，
	//    插入后被更新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
	// 3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理

	while (pParent) {
		// 更新双亲的平衡因子
		if (pCur == pParent->_pLeft)
			pParent->_bf--;
		else
			pParent->_bf++;
		// 更新后检测双亲的平衡因子
		if (0 == pParent->_bf)
			break;
		else if (1 == pParent->_bf || -1 == pParent->_bf) {
			// 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因为为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
			// 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
			pCur = pParent;
			pParent = pCur->_pParent;
		}
		else {
			// 双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性，需要对以pParent
			// 为根的树进行旋转处理
			if (2 == pParent->_bf) {
				// ...
			}
			else {
				// ...
			}
		}
	}
	return true;
}

4.1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

//上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，
//导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，
//即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，
//右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
//在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
//1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
//2. 60可能是根节点，也可能是子树
//   如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
//   如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
void RotateR(Node* parent) {
	Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right, * parentParent = parent->_parent;

	//旋转
	parent->_left = subLR;
	subL->_right = parent;
	//处理各节点的父节点
	parent->_parent = subL;
	if (subLR) subLR->_parent = parent;

	//处理根节点
	if (_root == parent) {
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else {
		if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subL;
		else parentParent->_right = subL;
		subL->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}

2. 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

//左单旋场景，是指新节点插入在较高右子树的右侧，导致右子树的高度比左子树高超过1 
//左单旋通过将较高的右子树提升为新的根节点，同时调整其左子树的位置，使得左右子树的高度差减小
void RotateL(Node* parent) {
	//parent是平衡因子为2的节点
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* parentParent = parent->_parent;//parent不一定是整棵树的根
	//旋转完后，subR是子树的根，还需要处理subR的parent

	//旋转
	parent->_right = subRL;
	subR->_left = parent;
	//上方还未处理完，根节点没有确定，各节点的parent还未更新
	parent->_parent = subR;
	if (subRL) subRL->_parent = parent;

	//处理根节点
	if (_root == parent) { //parent是整棵树的根
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else { //parent不一定是整棵树的根，旋转完后，还需要处理subR的parent
		if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subR;
		else parentParent->_right = subR;
		subR->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;//处理平衡因子
}

3. 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进行调整
void RotateLR(Node* parent) {
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
    // 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，
    //需要根据该平衡因子来调整其他节点的平衡因子
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(subL);
	RotateR(parent);

	if (bf == 0)
		parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
	else if (bf == -1) {
		subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		parent->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1) {
		parent->_bf = subLR->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
	}
	else
		assert(false);
}

4. 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

//新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
void RotateRL(Node* parent) {
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;//保存subRL节点的平衡因子，用于在旋转后正确更新相关节点的平衡因子。
	//新增节点可能为subRL 或 subRL的左子树 或subRL的右子树。
	//这三种不同的情况会导致旋转完成后，parent、subR、subRL的平衡因子不同

	RotateR(subR);
	RotateL(parent);

	if (bf == 0)
		parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;//subRL自己是新增
	else if (bf == -1) { //在subRL的左子树新增
		parent->_bf = subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 1) { //在subRL的右子树新增
		subR->_bf = subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else
		assert(false);
}

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR

• 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
• 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋

2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL

• 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
• 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

4.1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
    如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
    每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
    节点的平衡因子是否计算正确

int _Height(PNode pRoot);
bool _IsBalanceTree(PNode pRoot) {
	// 空树也是AVL树
	if (nullptr == pRoot) return true;

	// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(pRoot->_pLeft);
	int rightHeight = _Height(pRoot->_pRight);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
	// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if (diff != pRoot->_bf || (diff > 1 || diff < -1))
		return false;
	// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
	return _IsBalanceTree(pRoot->_pLeft) && _IsBalanceTree(pRoot -
	> _pRight);
}

3. 验证用例

结合上述代码按照以下的数据次序，自己动手画AVL树的创建过程，验证代码是否有漏洞。

常规场景1   {16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}
特殊场景2   {4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}

4.1.6 AVL树的删除(了解)

因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的时，删除节点后的平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。

4.1.7 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即$log_2 (N)$。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

AVLTree.h

#pragma once

template <class K, class V>
struct AVLTreeNode {
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0) {
	}
};

template <class K, class V>
struct AVLTree {
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
		if (_root == nullptr) {
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* parent = nullptr, * cur = _root;
		while (cur) {
			if (kv.first > cur->_kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(kv);
		if (kv.first > parent->_kv.first) {
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else {
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//调整平衡
		//新增节点可能会影响祖先，取决于子树的高度是否变化
		//1.如果子树高度[不变]，就[不会]继续往上影响祖先
		//2.如果子树高度[变化]，就[会]继续往上影响祖先
		//新增节点在左子树，父节点_bf--；新增节点在右子树，父节点_bf++。
		//是否要继续往上更新，分3种情况
		//1.父节点_bf更新后 == 0，父节点的子树高度不变，不用继续往上更新，插入结束
		//  ps：在插入之前，父节点_bf == -1 或 1，一边高一边低，新插入节点填上低的那边
		//2.父节点_bf更新后 == 1 或 -1，父节点的子树高度变化，必须继续往上更新
		//  ps：在插入之前，父节点_bf == 0，两边一样高，插入导致高度变化
		//3.父节点_bf更新后 == 2 或 -2，父节点的子树违反规则，需要调整

		//往上查看最高需要到根，所以cur需要指向根，此时parent就会空，所以parent不为空就继续
		while (parent) {
			//更新父节点平衡因子
			if (cur == parent->_left) parent->_bf--;
			else parent->_bf++;
			//查看父节点平衡因子，以此判断是否需要调整
			if (parent->_bf == 0) break;
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) {
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) {
				//旋转
				//1.保证左右均衡
				//2.保证二叉搜索树的规则
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1) //该平衡因子特征是左单旋
					RotateL(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //该平衡因子特征是右单旋
					RotateR(parent);
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
					RotateRL(parent);
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
					RotateLR(parent);
				//旋转后不需要再往上查看，因为新插入节点增加了高度，但旋转又减低了高度
				break;
			}
			else //以防平衡因子超过2，不是AVLTree，直接报错
				assert(false);
		}
		return true;
	}

	//左单旋
	//解释1：
	//假设平衡因子是2的节点为A，它的右子节点为B
	//将A->right指向B->left，在将B->left指向A
	//解释2：
	//如果一个节点的父节点平衡因子是2，将它的左子结点给其父节点的右子节点
	//再将其父节点当做自己的左子结点

	//左单旋场景，是指新节点插入在较高右子树的右侧，导致右子树的高度比左子树高超过1 
	//左单旋通过将较高的右子树提升为新的根节点，同时调整其左子树的位置，使得左右子树的高度差减小
	void RotateL(Node* parent) {
		//parent是平衡因子为2的节点
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;//parent不一定是整棵树的根
		//旋转完后，subR是子树的根，还需要处理subR的parent

		//旋转
		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;
		//上方还未处理完，根节点没有确定，各节点的parent还未更新
		parent->_parent = subR;
		if (subRL) subRL->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) { //parent是整棵树的根
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else { //parent不一定是整棵树的根，旋转完后，还需要处理subR的parent
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subR;
			else parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subR->_bf = 0;//处理平衡因子
	}

	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right, * parentParent = parent->_parent;

		//旋转
		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;
		//处理各节点的父节点
		parent->_parent = subL;
		if (subLR) subLR->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subL;
			else parentParent->_right = subL;
			subL->_parent = parentParent;
		}
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}

	//新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋
	void RotateRL(Node* parent) {
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;//保存subRL节点的平衡因子，用于在旋转后正确更新相关节点的平衡因子。
		//新增节点可能为subRL 或 subRL的左子树 或subRL的右子树。
		//这三种不同的情况会导致旋转完成后，parent、subR、subRL的平衡因子不同

		RotateR(subR);
		RotateL(parent);

		if (bf == 0)
			parent->_bf = subR->_bf = subRL->_bf = 0;//subRL自己是新增
		else if (bf == -1) { //在subRL的左子树新增
			parent->_bf = subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1) { //在subRL的右子树新增
			subR->_bf = subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else
			assert(false);
	}

	//新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋
	void RotateLR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(subL);
		RotateR(parent);

		if (bf == 0)
			parent->_bf = subL->_bf = subLR->_bf = 0;
		else if (bf == -1) {
			subL->_bf = subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 1) {
			parent->_bf = subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else
			assert(false);
	}

	Node* Find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (key > _root->_kv.first) cur = cur->_right;
			else if (key < _root->_kv.first) cur = cur->_left;
			else return cur;
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance() { return _IsBalance(_root); }
	int Height() { return _Height(_root); }
	size_t Size() { return _Size(_root); }
private:
	Node* _root = nullptr;

	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* root) {
		if (root == nullptr) return true;

		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		//验证当前节点的平衡因子是否正确，通过实际计算得到的左右子树高度差去验证
		//如果不相等，说明平衡因子计算或维护有误
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf) {
			cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2 //当前节点左右子树高度
			&& _IsBalance(root->_left) //继续检查其左子树的左右子树高度
			&& _IsBalance(root->_right);
	}

	size_t _Size(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
};

AVLTree.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <map>
#include <assert.h>
#include<vector>
using namespace std;
#include "AVLTree.h"

int main() {
	multimap<string, string> dict;//全部可以插入
	dict.insert(make_pair("left", "左边"));
	dict.insert(make_pair("left", "剩余"));
	dict.insert(make_pair("left", "左边"));

	//map<string, string> dict;//只能插入第一个 "左边"
	//dict.insert(make_pair("left", "左边"));
	//dict.insert(make_pair("left", "剩余"));//修改value要使用[]
	for (auto& kv : dict)
		cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
	return 0;
}



//测试AVLTree
int main() {
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };//涉及双旋
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
		t.Insert(make_pair(e, e));//value可以是任意数据，这里value和key相同，只是为了方便演示。
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
	return 0;
}


//进一步测试AVLTree
int main() {
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand((unsigned int)time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
		v.push_back(rand() + i);

	size_t begin2 = clock();
	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
		t.Insert(make_pair(e, e));
	size_t end2 = clock();

	cout << t.IsBalance() << endl;
	cout << t.Height() << endl;
	cout << t.Size() << endl;

	size_t begin1 = clock();
	for (auto e : v)
		t.Find(e);
	size_t end1 = clock();
	cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;


	//如果有问题可以用下面的方式调试
	const int N = 20;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	//srand((unsigned int)time(0));//屏蔽这行只生成一次随机数

	for (size_t i = 0; i < N; i++) {
		v.push_back(rand());
		cout << v.back() << endl;
	}

	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v) {
		if (e == 14604)
			int x = 0;//这样没意义，只是为了打断点，空语句不能打断点

		t.Insert(make_pair(e, e));
		cout << "Insert:" << e << "->" << t.IsBalance() << endl;
	}
	cout << t.IsBalance() << endl;
	return 0;
}

4.2 红黑树

4.2.1 红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

4.2.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色 
2. 根节点是黑色的  
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的  
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点  
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

最短路径：全黑节点
最长路径：红黑交替（因规则3，红色不能连续）
设黑高为h，则：
    最短路径长度 = h（全黑）
    最长路径长度 ≤ 2h（红黑交替时）
因此最长路径 ≤ 2 × 最短路径

4.2.3 红黑树节点的定义

// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode {
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color) {
	}
	RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;//节点的左孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pRight;//节点的右孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pParent;//节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给出该字段)
	ValueType _data;//节点的值域
	Color _color;//节点的颜色
};

4.2.4 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
因为新节点的默认颜色是红色，因为：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

cur 和 p 均为红，违反了性质三，此处能否将 p 直接改为黑？不能，因为这样会导致p这条路径多了一个黑色节点

解决方式：将 p,u 改为黑， g 改为红，然后把 g 当成 cur ，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的左孩子，则进行右单旋转；相反，

p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的右孩子，则进行左单旋转

p 、 g 变色 --p 变黑， g 变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p 为 g 的左孩子， cur 为 p 的右孩子，则针对 p 做左单旋转；相反，

p 为 g 的右孩子， cur 为 p 的左孩子，则针对 p 做右单旋转

则转换成了情况 2

4.2.5 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
2. 检测其是否满足红黑树的性质

4.2.6 红黑树的删除

不做讲解，有兴趣可参考：《算法导论》或者《STL源码剖析》

4.2.7 红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($log_2 N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

RBTree.h

#pragma once

enum Color {
	RED,
	BLACK
};

template <class K, class V>
struct RBTreeNode {
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	Color _col;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _col(RED) {
	}
};

template <class K, class V>
struct RBTree {
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv) {
		if (_root == nullptr) { //如果插入节点是根
			_root = new Node(kv);
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}
		//不是根，找插入位置。记录插入节点的父节点方便链接
		Node* parent = nullptr, * cur = _root;
		while (cur) {
			if (kv.first > cur->_kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return false;
		}
		//新增黑色节点会影响所有路径
		//新增红色节点只会影响父节点
		cur = new Node(kv);
		cur->_col = RED;
		//插入节点链接在其父节点的左或右
		if (kv.first > parent->_kv.first) {
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else {
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//检查是否需要变色
		//cur的父节点为空(即根节点)，或其父节点不是红色就不用更新
		while (parent && parent->_col == RED) {
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left) { //通过g找到u。p为g的左孩子
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//u存在且为红(cur为红，p为红，g为黑)
				if (uncle && uncle->_col == RED) { //u存在且为红
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//继续往上更新，去找上一个红节点
					cur = grandfather;//grandfather有可能为根，所以父节点可能不存在，所以需要在循环条件中判断
					parent = cur->_parent;
				}
				else { //u不存在或u为黑(cur为红，p为红，g为黑)
					//p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转。(这里p已经是g的左)
					if (cur == parent->_left) {
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else { //p为g的左孩子，cur为p的右孩子。(这里p已经是g的左)
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else { //parent == grandfather->_right;
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else {
					if (cur == parent->_right) {
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else { //cur == parent->_left
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		//根节点必须为黑，所以不用在上面的过程中考虑grandfather为根时怎么变色的问题
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	void RotateL(Node* parent) {
		//parent是平衡因子为2的节点
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;//parent不一定是整棵树的根
		//旋转完后，subR是子树的根，还需要处理subR的parent

		//旋转
		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;
		//上方还未处理完，根节点没有确定，各节点的parent还未更新
		parent->_parent = subR;
		if (subRL) subRL->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) { //parent是整棵树的根
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else { //parent不一定是整棵树的根，旋转完后，还需要处理subR的parent
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subR;
			else parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right, * parentParent = parent->_parent;

		//旋转
		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;
		//处理各节点的父节点
		parent->_parent = subL;
		if (subLR) subLR->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subL;
			else parentParent->_right = subL;
			subL->_parent = parentParent;
		}
	}

	Node* Find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (key > _root->_kv.first) cur = cur->_right;
			else if (key < _root->_kv.first) cur = cur->_left;
			else return cur;
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance() {
		if (_root == nullptr) return true;
		if (_root->_col == RED) return false;
		int blacknum = 0;//根节点到当前节点的黑色节点数量
		//blacknum只能传值，不能传引用。引用求得是整棵树所有黑色节点

		//将最左路径节点作为参考值传入Check和其他路径比较
		int refVal = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_col == BLACK) ++refVal;
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}

	int Height() { return _Height(_root); }
	size_t Size() { return _Size(_root); }
private:
	Node* _root = nullptr;

	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal) {
		if (root == nullptr) {
			//cout << blacknum << endl;
			//走到空意味着求出了一条路径的黑色节点数量
			if (refVal != blacknum) {
				cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
			cout << "有连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK) ++blacknum;
		return Check(root->_left, blacknum, refVal)
			&& Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}

	int _Height(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	size_t _Size(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
};

RBTree.cpp

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
#include "RBTree.h"

//测试红黑树
int main() {
	//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };
	int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };//涉及双旋
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : a)
		t.Insert(make_pair(e, e));
	t.InOrder();
	cout << t.IsBalance() << endl;
	return 0;
}


//进一步测试红黑树
int main() {
	const int N = 1000000;
	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand((unsigned int)time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; i++)
		v.push_back(rand() + i);
	
	size_t begin2 = clock();
	RBTree<int, int> t;
	for (auto e : v) 
		t.Insert(make_pair(e, e));
	size_t end2 = clock();

	size_t begin1 = clock();
	for (auto e : v)
		t.Find(e);
	size_t end1 = clock();

	cout << "是否为红黑树：" << t.IsBalance() << endl;
	//cout << "Insert:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "Height:" << t.Height() << endl;
	cout << "Size:" << t.Size() << endl;
	cout << "Find Time:" << end1 - begin1 << endl;
	cout << "Insert Time:" << end2 - begin2 << endl;
	return 0;
}



#include "MySet.h"
#include "MyMap.h"

void test_set() {
	bit::set<int> s;
	s.Insert(4);
	s.Insert(1);
	s.Insert(2);
	s.Insert(3);
	s.Insert(2);
	s.Insert(0);
	s.Insert(10);
	s.Insert(5);
	bit::set<int>::iterator it = s.begin();
	while (it != s.end()) {
		cout << *it << " ";
		++it;
	}
	cout << endl;
	for (auto e : s)
		cout << e << " ";
	cout << endl;
}

void test_map() {
	bit::map<string, string> dict;
	dict.Insert(make_pair("sort", "排序"));
	dict.Insert(make_pair("sort", "xx"));
	dict.Insert(make_pair("left", "左边"));
	dict.Insert(make_pair("right", "右边"));
	bit::map<string, string>::iterator it = dict.begin();
	while (it != dict.end()) {
		//it->first += "y";
		it->second += "y";
		cout << it->first << ":" << it->second << endl;
		++it;
	}

	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
	bit::map<string, int> countMap;
	for (auto& e : arr)
		countMap[e]++;

	for (auto& kv : countMap)
		cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
}
int main() {
	//test_set();
	test_map();
	return 0;
}

4.3 红黑树模拟实现STL中的map与set

4.3.1 改造红黑树

RBTree.h

#pragma once

enum Color {
	RED,
	BLACK
};

template <class T>
struct RBTreeNode {
	RBTreeNode<T>* _left;
	RBTreeNode<T>* _right;
	RBTreeNode<T>* _parent;
	T _data;
	Color _col;

	RBTreeNode(const T& data)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _data(data)
		, _col(RED) {
	}
};

//迭代器
template <class T, class Ref, class Ptr>
struct __TreeIterator {
	typedef RBTreeNode<T> Node;
	typedef __TreeIterator<T, Ref, Ptr> Self;
	Node* _node;

	__TreeIterator(Node* node)
		:_node(node) {
	}

	Ref operator*() { return _node->_data; }
	Ptr operator->() { return &_node->_data; }

	Self& operator++() {
		//it.begin()返回的是中序的第一个节点
		//++就是中序遍历的顺序
		//1. it的右不为空，下一个就是其右子树的最左节点
		//2. it的右为空，往上找在其父左的节点(A)，A的父节点就是下一个
		//沿着该节点的路径往上面找孩子是其父的左的祖先节点

		//_node不用担心为空，因为正常使用迭代器它不会为空
		if (_node->_right) { //右不为空。
			Node* cur = _node->_right;
			while (cur->_left) cur = cur->_left;
			_node = cur;
		}
		else { //右为空
			Node* cur = _node;
			Node* parent = cur->_parent;
			while (parent && cur == parent->_right) { //cur是其父的右就继续，不是才停下来
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			_node = parent;
		}
		return *this;
	}

	Self& operator--() {
		//++是中序 左 根 右，所以--就是中序倒过来右 根 左
		//1.左不为空，左子树的最右节点
		//2.左为空，沿着该节点的路径往上面找孩子是其父的右的那个祖先
		if (_node->_left) {
			Node* cur = _node->_left;
			while (cur->_right) cur = cur->_right;
			_node = cur;
		}
		else {
			Node* cur = _node;
			Node* parent = cur->_parent;
			while (parent && cur == parent->_left) {
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			_node = parent;
		}
		return *this;
	}

	bool operator!=(const Self& s) { return _node != s._node; }
	bool operator==(const Self& s) { return _node == s._node; }
};


//第二个T实际存储的数据类型，节点中 _data 的具体类型（set存K，map存pair<K, V>）。

//class KeyOfT是为了取T _data 里的key(主要是针对map，因为map的T是pair<K, T>)
//set -> RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
//map -> RBTree<K, pair<const K, T>, MapKeyOfT> _t;
//红黑树提供一个通用的键值提取接口（KeyOfT），而set和map自行定义如何提取键值
//对于map来说，KeyOfT只是取模版参数T(pair<const K, T>)中K的值(但没有类型)
template <class K, class T, class KeyOfT>
struct RBTree {
	typedef RBTreeNode<T> Node;
public:
	typedef __TreeIterator<T, T&, T*> iterator;
	typedef __TreeIterator<T, const T&, const T*> const_iterator;

	iterator begin() {
		Node* cur = _root;
		while (cur && cur->_left) cur = cur->_left;
		return iterator(cur);
	}
	iterator end() { return iterator(nullptr); }

	const_iterator begin() const {
		Node* cur = _root;
		while (cur && cur->_left) cur = cur->_left;
		return const_iterator(cur);
	}
	const_iterator end() const { return const_iterator(nullptr); }

	//pair<iterator, bool> Insert(const T& data) {
	//set迭代器都是const迭代器，所以传Node*初始化const迭代器
	//迭代器都是用Node*初始化的，所以传Node*可行
	pair<Node*, bool> Insert(const T& data) {
		if (_root == nullptr) { //如果插入节点是根
			_root = new Node(data);
			_root->_col = BLACK;
			return make_pair(_root, true);
		}
		//不是根，找插入位置。记录插入节点的父节点方便链接
		Node* parent = nullptr, * cur = _root;
		KeyOfT kot;
		//data是什么并不确定，KeyOfT是个仿函数类模板，可以取data里面的key
		while (cur) {
			if (kot(data) > kot(cur->_data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kot(data) < kot(cur->_data)) {
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
				return make_pair(cur, false);
			//insert 返回值规范
			//first: 指向已插入或已存在元素的迭代器
			//second: 是否插入成功（true=新插入，false=已存在）
			//所以插入失败不能返回空，要返回已存在key的位置
		}
		//新增黑色节点会影响所有路径
		//新增红色节点只会影响父节点
		cur = new Node(data);
		Node* newnode = cur;//记录新插入节点是为了最后返回
		cur->_col = RED;
		//插入节点链接在其父节点的左或右
		if (kot(data) > kot(parent->_data)) {
			parent->_right = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		else {
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
		//检查是否需要变色
		//cur的父节点为空(即根节点)，或其父节点不是红色就不用更新
		while (parent && parent->_col == RED) {
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left) { //通过g找到u。p为g的左孩子
				Node* uncle = grandfather->_right;
				//u存在且为红(cur为红，p为红，g为黑)
				if (uncle && uncle->_col == RED) { //u存在且为红
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					//继续往上更新，去找上一个红节点
					cur = grandfather;//grandfather有可能为根，所以父节点可能不存在，所以需要在循环条件中判断
					parent = cur->_parent;
				}
				else { //u不存在或u为黑(cur为红，p为红，g为黑)
					//p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转。(这里p已经是g的左)
					if (cur == parent->_left) {
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else { //p为g的左孩子，cur为p的右孩子。(这里p已经是g的左)
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
			else { //parent == grandfather->_right;
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_col == RED) {
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else {
					if (cur == parent->_right) {
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else { //cur == parent->_left
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					break;
				}
			}
		}
		//根节点必须为黑，所以不用在上面的过程中考虑grandfather为根时怎么变色的问题
		_root->_col = BLACK;
		return make_pair(newnode, true);//返回新插入节点
	}

	void RotateL(Node* parent) {
		//parent是平衡因子为2的节点
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* parentParent = parent->_parent;//parent不一定是整棵树的根
		//旋转完后，subR是子树的根，还需要处理subR的parent

		//旋转
		parent->_right = subRL;
		subR->_left = parent;
		//上方还未处理完，根节点没有确定，各节点的parent还未更新
		parent->_parent = subR;
		if (subRL) subRL->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) { //parent是整棵树的根
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else { //parent不一定是整棵树的根，旋转完后，还需要处理subR的parent
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subR;
			else parentParent->_right = subR;
			subR->_parent = parentParent;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent) {
		Node* subL = parent->_left, * subLR = subL->_right, * parentParent = parent->_parent;

		//旋转
		parent->_left = subLR;
		subL->_right = parent;
		//处理各节点的父节点
		parent->_parent = subL;
		if (subLR) subLR->_parent = parent;

		//处理根节点
		if (_root == parent) {
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else {
			if (parent == parentParent->_left) parentParent->_left = subL;
			else parentParent->_right = subL;
			subL->_parent = parentParent;
		}
	}

	Node* Find(const K& key) {
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (key > kot(cur->_data)) cur = cur->_right;
			else if (key < kot(cur->_data)) cur = cur->_left;
			else return cur;
		}
		return nullptr;
	}

	void InOrder() {
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

	bool IsBalance() {
		if (_root == nullptr) return true;
		if (_root->_col == RED) return false;
		int blacknum = 0;//根节点到当前节点的黑色节点数量
		//blacknum只能传值，不能传引用。引用求得是整棵树所有黑色节点

		//将最左路径节点作为参考值传入Check和其他路径比较
		int refVal = 0;
		Node* cur = _root;
		while (cur) {
			if (cur->_col == BLACK) ++refVal;
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root, blacknum, refVal);
	}

	int Height() { return _Height(_root); }
	size_t Size() { return _Size(_root); }
private:
	Node* _root = nullptr;

	void _InOrder(Node* root) {
		if (root == nullptr)
			return;
		_InOrder(root->_left);
		cout << kot(root->_data) << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool Check(Node* root, int blacknum, const int refVal) {
		if (root == nullptr) {
			//cout << blacknum << endl;
			//走到空意味着求出了一条路径的黑色节点数量
			if (refVal != blacknum) {
				cout << "存在黑色节点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED) {
			cout << "有连续的红色节点" << endl;
			return false;
		}
		if (root->_col == BLACK) ++blacknum;
		return Check(root->_left, blacknum, refVal)
			&& Check(root->_right, blacknum, refVal);
	}

	int _Height(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);

		return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
	}

	size_t _Size(Node* root) {
		if (root == nullptr) return 0;
		return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;
	}
};

4.3.2 set的模拟实现

MySet.h

#pragma once
#include "RBTree.h"

namespace bit {
	template <class K>
	class set {
	public:
		struct SetKeyOfT {
			const K& operator() (const K& key) { return key; }
		};

		//红黑树的迭代器提供的是最基础的遍历功能，它只是简单地封装了节点指针，
		//并提供 operator++、operator--、operator* 等基本操作。
		//set 和 map 需要更严格的迭代器控制
		//由于set和map的键（key）是排序的依据，必须保证键的不可变性，否则会破坏红黑树的有序性。因此：
		//set的iterator和const_iterator都必须是const 迭代器（即 RBTree::const_iterator）。
		//map 的 iterator 允许修改 value（pair.second），但禁止修改 key（pair.first）。
		//map 的 const_iterator 完全禁止修改（key 和 value 都不能改）。

		//typedef RBTree<K, K, SetKeyOfT>::iterator iterator;
		//在模板编程中，当一个类型（如 iterator）依赖于模板参数（如 K）时，它被称为 “嵌套依赖类型”。
		//这里，RBTree<K, K, SetKeyOfT>::iterator 的类型取决于模板参数 K，因此它是一个 嵌套依赖类型。
		//C++ 编译器在解析模板时有一个特殊规则：
		//默认情况下，编译器假定嵌套依赖名称（如 X::Y）是一个静态成员变量，而不是类型。
		//如果 iterator 确实是类型，但未用 typename 声明，编译器会尝试将其解释为变量，导致错误。
		//解决方案：必须用 typename 显式告诉编译器：“RBTree<K, ...>::iterator 是一个类型，而不是变量”。
		typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator iterator;
		typedef typename RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
		//set只有key且不能修改，所以iterator和const_iterator都使用const_iterator
		iterator begin() const { return _t.begin(); }
		iterator end() const { return _t.end(); }

		pair<iterator, bool> Insert(const K& key) { return _t.Insert(key); }
		//仅仅将两个迭代器都改为const_iterator还是会报错
		//set的Insert返回类型：其中 iterator 是 RBTree<K, K, SetKeyOfT>::const_iterator，
		//即 __TreeIterator<T, const T&, const T*>。
		//RBTree的Insert返回类型：其中iterator 是 __TreeIterator<T, T&, T*>（非 const 版本）。
	private:
		RBTree<K, K, SetKeyOfT> _t;
		//set不能使用RBTree<const K, const K, SetKeyOfT> _t;
		//虽然set的key不能修改，但是可能需要调整节点（如红黑树的旋转、变色）
		//这些操作可能需要临时修改节点的 data（例如之前二叉搜索树的删除，需要交换节点）
		//const K 会阻止这些操作，导致 RBTree 无法完成插入/删除的调整逻辑。
	};
}
//红黑树的模版参数template <class K, class T, class KeyOfT>
//K的作用：K是键（Key）的类型，用于：比较节点：红黑树需要比较节点的键来决定插入、查找的位置。
//KeyOfT 仿函数从 T 中提取键（K）。
//set的T就是key，但map的T是pair<const K, V>。
//如果红黑树没有第一个参数K，那么set和map的比较、查找的逻辑就不一样。
//set可以直接使用T，但map需要先从T中获取key。这样红黑树的类模板就没办法做到统一。

4.3.3 map的模拟实现

MyMap.h

#pragma once
#include "RBTree.h"

namespace bit {
	template <class K, class V>
	class map {
	public:
		struct MapKeyOfT {
			const K& operator() (const pair<K, V>& kv) { return kv.first; }
		};

		typedef typename RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::iterator iterator;
		typedef typename RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>::const_iterator const_iterator;
		iterator begin() { return _t.begin(); }
		iterator end() { return _t.end(); }

		pair<iterator, bool> Insert(const pair<K, V>& kv) { return _t.Insert(kv); }
		//first 和 second 都不可修改
		//pair 对象本身不能被重新赋值。整个对象是只读的
		//但它的 first 和 second 仍然可读（并用于构造新的 pair<const K, V>）。
		//插入时，RBTree 会用 kv.first 和 kv.second 构造一个新的 pair<const K, V>

		V& operator[](const K& key) {
			//insert 返回值规范
			//first: 指向已插入或已存在元素的迭代器
			//second: 是否插入成功（true=新插入，false=已存在）
			pair<iterator, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));
			return ret.first->second;
			//ret.first 是 iterator
			//RBTree的模版参数template <class K, class T, class KeyOfT>
			//map传给 RBTree 的模板参数是：RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT>
			//T = pair<const K, V>
			//RBTreeNode中 T _data，所以 _data = pair<const K, V>
			//迭代器中返回&_node->_data即(pair<const K, V>* )

		}
	private:
		RBTree<K, pair<const K, V>, MapKeyOfT> _t;
	};
}

作业

1. 下列说法正确的是（）

A.set中的某个元素值不能被直接修改
B.map和unordered_map都是C++11提供的关联式容器
C.因为map和set的底层数据结构相同，因此在实现时set底层实际存储的是<key, key>的键值对
D.map和multimap中都重载了[]运算符

答案：A
A：正确，因为set要保证其有序，因此set中元素不能被直接修改，若要修改可以先删除，在插入
B：错误，map是C++98中已存在的，unordered_map是C++11中才有的
C：错误，map和set底层结构都是红黑树，而其底层红黑树在实现时并没有区分是存k模型还是KV         模型
D：错误，map中key是唯一的，每个key都有与之对应的value，经常需要通过key获取value，因此        map为了形象简    单重载了[]运算符, multimap中key是可以重复的，如果重载了[]运算符，给定        一个key时，就没有办法返回     value了，因此，multimap中没有重载[]运算符    

2. 下面关于set的说法正确的是（）

A.set中一定不能存储键值对，只能存储key
B.set可以将序列中重复性的元素去除掉
C.set中不能存储对象，因为对象字段较多，没有办法比较
D.set默认是升序，因为其默认是按照大于的方式比较的

答案：B
A：错误，set中可以存储键值对，实例化set时，将set中元素类型设置为pair即可
B：正确，因为set中的key是不能重复的
C：错误，set中任意类型元素都可以存储，存储对象时，需要用户提供比较规则
D：错误，set默认是升序，正确，但是其内部默认不是按照大于比较，而是按照小于比较

3. 下面关于map的说法正确的是（）

A.map的查询效率是O(log_2N)，因为其底层使用的是二叉搜索树
B.map的key和value的类型可以相同
C.map中的有序只能是升序，不能是降序
D.map中的key可以直接修改

答案：B
A：错误，map的查询效率是O(log_2N)是正确的，但map的底层结构不是二叉搜索树，而是红黑树
B：正确，key和value的类型由用户自己设置，可以相同也可以不同，取决于应用场景需要
C：错误，map可以是升序，也可是降序，默认情况下是升序，如果需要降序，需要用户在实例化map时指定比较规则
D：错误，map中key不能修改，因为如果修改了就不能保证红黑树的特性了，即有序

4. 下面关于map和set说法错误的是（）

A.map中存储的是键值对，set中只储存了key
B.map和set查询的时间复杂度都是O(log_2N)
C.map和set都重载了[]运算符
D.map和set底层都是使用红黑树实现的

答案：C
A：正确，map和set的概念
B：正确，因map和set的底层结构都是红黑树，而红黑树是近似的平衡二叉搜索树，故查询时间复杂度为O(log_2N)
C：错误，map中重载了[]运算符，因为其需要通过key获取value，set中没有
D：正确

5. 单词识别  单词识别_牛客题霸_牛客网

#include <iostream>
#include <map>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct KvCom{
        bool operator()(const pair<string, int>& kv1, const pair<string, int>& kv2) {
            // return kv1.second > kv2.second;//不能只比较value
            return kv1.second > kv2.second || 
                   (kv1.second == kv2.second && kv1.first < kv2.first);
        }
    };
int main() {
    string input;
    getline(cin, input); // 读取整行输入

    map<string, int> wordCount; // 存储单词及其出现次数

    string currentWord;
    for (char ch : input) {
        if (isalpha(ch)) { // 如果是字母，加入当前单词
            currentWord += tolower(ch); // 转换为小写
        } else if (ch == '.') { // 如果是句号，跳过
            continue;
        } else { // 不是字母，不是句号，就只会是空格
            if (!currentWord.empty()) { //读取单词的string不为空就插入map
                wordCount[currentWord]++;
                currentWord.clear();//清除currentWord里的单词准备读取下一个
            }
        }
    }
    // 处理最后一个单词（如果输入不以空格或句号结尾）
    if (!currentWord.empty()) {
        wordCount[currentWord]++;
    }

    // 将 map 转换为 vector 以便排序
    vector<pair<string, int>> words(wordCount.begin(), wordCount.end());
    sort(words.begin(), words.end(), KvCom());

    // 输出结果
    for (auto& kv : words) {
        cout << kv.first << ":" << kv.second << endl;
    }

    return 0;
}

6. 关于AVL树的旋转说法正确的是（）

A.插入时，AVL树最多只需要旋转两次
B.删除时，只要某个节点的平衡因子不满足特性时 ，只需要对该棵子树进行旋转，就可以使AVL树再次平衡
C.AVL树的节点中必须维护平衡因子，因为要依靠其平衡因子是否需要旋转以维护其平衡性
D.AVL树的双旋转只需要直接使用对应的单旋转即可

答案：A
A：正确，即双旋
B：错误，可能需要旋转多次，子树旋转后，其高度降低了一层，其上层可能也需要跟着旋转
C：错误，平衡因子不是必须要维护的，在操作时也可以直接通过高度函数来算，只不过比较麻烦
D：错误，不能直接使用单旋转，因为两个单旋转完成后，还需要对部分节点的平衡因子进行更新

7. 现有一棵无重复关键字的平衡二叉树（AVL树），对其进行中序遍历可得到一个降序序列。下列关于该平衡二叉树的叙述中，正确的是（）

A.根结点的度一定为2
B.树中最小元素一定是叶结点
C.最后插入的元素一定是叶结点
D.树中最大元素一定是无左子树

答案：D
题目中说：中序遍历得到一个降序序列，则说明：根小于左子树中节点，大于右子树中节点
A：错误，根可以没有左子树，比如树中只有两个节点，即根以及根的右子树
B：错误，树中最小的元素一定是最左侧或者最右侧节点，但不一定是叶子节点
C：错误，最后插入的元素不一定是叶子节点，因为新节点插入后，为了保证其平衡性，还要对树进行旋转处理，旋转之后，就不一定在叶子的位置
D：正确，因为最大元素如果存在左子树，中序遍历就不可能是降序序列

8. 下面关于AVL树说法不正确的是（）

A.AVL树也是二叉搜索树
B.极端情况下，AVL树可能也会退化成单支树
C.AVL查询的时间复杂度是O(log_2N)
D.AVL树是通过平衡因子限制保证其平衡性的

答案：B
AVL树：一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树
1. 它的左右子树都是AVL树
2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1 / 0 / 1)
故：如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)
A：正确，参考上述概念
B：错误，AVL树没有极端情况，其是为了防止二叉搜索树的极端情况二给出的
C：正确，参考上述概念
D：正确，平衡因子：左右子树高度之间，其绝对值如果不超过1，则认为树就是平衡的

9. 关于AVL树和红黑树的区别说法不正确的是（）

A.AVL树和红黑树保证平衡性的方式不同
B.AVL树和红黑树都是平衡树，因此查找的时间复杂度都是O(log_2N)
C.AVL树和红黑树的性质遭到破坏时，都需要进行旋转
D.AVL树和红黑树中序遍历都可以得到有序序列，因为它们都是二叉搜索树

答案：C
A：正确，AVL树通过节点的平衡因子保证，红黑树通过节点的颜色以及红黑树的特性保证
B：正确，AVL树是严格平衡的，红黑树虽然是近似平衡，但其性能往往比AVL树好，而且实现简单，因此他们的查找效率都是O(logN)
C：错误，AVL树是一定需要旋转，红黑树不一定，红黑树有时只需要改变节点的颜色即可
D：正确，参考概念

10. 下面关于红黑树的特性说法错误的是（）

A.红黑树最左侧节点一定是最小的，最右侧节点一定是最大的
B.红黑树在实现时必须要有头结点
C.红黑树中可能会出现连在一起的黑色节点
D.红黑树的旋转不需要依靠平衡因子

答案：B
A：该题不严谨，这个取决于红黑树中元素的比较规则，最左侧节点可能是最大的，也可能是最小的，没有规定，取决于创建树时的比较方式
B：错误，红黑树在实现时可以没有头节点，这个根据需要是否给出
C：正确，但是一定不能出现连在一起的红色节点
D：正确，红黑树是通过节点颜色以及红黑树的性质来保证其平衡性的，AVL树需要平衡因子保证

11. 红黑树的插入算法复杂度最坏情况是 （）

A.O(n)
B.O(log(n))
C.O(nlog(n))
D.其他都不对

答案：B
红黑树是近似的平衡树，没有什么最坏情况，插入的时间复杂度为O(log(N))

12. 关于红黑树以下说法正确的是（）

A.空树不是红黑树，因为红黑树要求根节点必须为黑色，而空树中没有根节点
B.红黑树也是二叉搜索树，因此其按照前序遍历可以得到有序序列
C.红黑树是一棵真正平衡的二叉树
D.红黑树最长路径中节点个数可能会等于最短路径中节点个数的两倍

答案：D
A：错误，空树也是红黑树，性质5中规定树中的空指针域为叶子节点，因此空树也是有节点的
B：错误，红黑树也是二叉搜索树，按照中序遍历才可以得到有序序列
C：红黑树不像AVL树那么严格，是一棵近似平衡的二叉搜索树
D：正确，比如红黑树中只有两个节点