基于Wishart分布的Bayesian检验

首先，Wiahsrt分布是用来刻画协方差矩阵统计量概率分布的一个分布，记作$W(\Sigma,d,n)$其中n代表构成协方差矩阵的样本数目，d代表样本维度，$\Sigma$代表方差。

假设有总体$A_1,A_2，...,A_G$其中每一个总体都符合P维的正态分布，即有：

$$A_i\sim N(\mu _i,\Sigma _i)$$
那么，对于其中某个总体 $A_i$来说，如果在其中取k个样本 $X_{i1},X_{i2}，...,x_{ik}$，其统计量。
$$\hat X_i = \frac {1}{k}\sum _{j=1}^kX_{ij}=f_1(\hat X_i|\mu_i,\Sigma_i;A_i)$$
$$V_i = \sum _{j=1}^k(X_{ij}-\hat X_i){(X_{ij}-\hat X_i)}^T=f_2(V_i|\mu_i,\Sigma_i;A_i)$$
可以知道，这两个统计量满足：
$$\hat X_i\sim N(\mu_in\frac{1}{k}\Sigma_i)$$
$$V_i\sim W_p(n_i-1,\Sigma_i)$$
其中 $W_p(n_i-1,\Sigma_i)$为一个逆Wishrat分布，其分布为：
$$IW_p(v,H) = f(w|v,H) = k\frac{{|H|^{v/2}}}{{|w|^{(v+p+1)/2}}}exp[-tr(w^{-1}H)]$$
$$k = {[2^{vp}\pi^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^p{\Gamma (\frac{v-i+1}{2})}]}^{-1}$$
所以，可以得到似然函数：

L(X^i