Cpp环境【NOIP2003 P3】【Vijos1100】【Code[VS]1090】【CQYZOS2816】加分二叉树

【问题描述】

　　设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
　　subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子节点的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
　　试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
　　（1）tree的最高加分
　　（2）tree的前序遍历

【输入格式】

　　第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
　　第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

【输出格式】

　　第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
　　第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
　

【输入样例】

　　5
　　5 7 1 2 10

【输出样例】

　　
　　145
　　3 1 2 4 5

【数据范围】

　　n<=30
　　每个节点的分数<=100

【思路梳理】

比较强势的动态规划，第一个问比较容易解决，相信读者可一直直接设计出如下的状态函数：

d[i][j]=在第i个点至第j个点建立加分二叉树所能够获得的最大分数值
d[i][j]=max{d[i][x-1]*d[x+1][j]+score[x] |i<=x<=j}

此处的x枚举的是当前区间的根节点,因为输入时是该树的中序遍历，那么显然i~x-1个节点是该区间内的左子树，x+1~j是该区间的右子树，那么左右两棵子树的分值相乘，加上根节点i的分值即可。需要注意的是空子树的特殊情况。什么时候会出现空子树？就是说空子树对应的中序遍历序列为空或者不存在，那么也就是说其对应的中序序列为a[m]~a[m-1]即可，所以我们的x根节点枚举范围是i~j。

【Cpp代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define maxn 35
using namespace std;
int n,score[maxn],fa[maxn][maxn],g[maxn][2];
long long d[maxn][maxn];

void back_track(int left,int right)
{
    if(right<left)  return;
    int subroot=fa[left][right];
    cout<<subroot<<" ";
    back_track(left,subroot-1);
    back_track(subroot+1,right);
}

void dp()
{
    //d[i][j]=在第i个~第j个点建立加分二叉树所能够获得的最大分数值
    //d[i][j]=max { d[i][x-1]*d[x+1][j]+score[x] |i<=x<=j} 
    for(int i=1;i<=n;i++)   d[i][i]=score[i],fa[i][i]=i;
    //f[i][j]=在下标为i~j一段的根节点

    for(int lens=2;lens<=n;lens++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int j=lens+i-1;
        if(j>n) break;

        long long &t=d[i][j];
        for(int x=i;x<=j;x++)
        {
            long long leftscore=d[i][x-1]==0 ? 1 :d[i][x-1];
            long long rightscore=d[x+1][j]==0? 1 :d[x+1][j];
            long long m=leftscore*rightscore+d[x][x];
            if(t>=m)    continue;
            fa[i][j]=x;
            t=m;
        }
    }

    cout<<d[1][n]<<endl;
    back_track(1,n);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d",&score[i]);
    dp();
    return 0;
}