17、散射问题中的近似、应用与求和规则

散射问题中的近似、应用与求和规则

1. 远场振幅积分简化

在H平面（x - z平面或φ = 0平面），积分简化为：
[I(\hat{r}) = \frac{2Fk^2p\hat{y}}{\epsilon_0}e^{ik(\xi(1 - \cos\theta)+2F)}\int_{0}^{a}r_c\frac{J_2 (k r_c \sin\theta) r_c^2 - 4F^2J_0 (k r_c \sin\theta)}{(r_c^2 + 4F^2)^2}dr_c]
在E平面（y - z平面或φ = π/2平面），积分简化为：
[I(\hat{r}) = -\frac{2Fk^2p\hat{y}}{\epsilon_0}e^{ik(\xi(1 - \cos\theta)+2F)}\int_{0}^{a}r_c\frac{J_2 (k r_c \sin\theta) r_c^2 + 4F^2J_0 (k r_c \sin\theta)}{(r_c^2 + 4F^2)^2}dr_c]
远场振幅的数值计算结果表明，在小观测角度（即正向）下，两种方法是等效的。正向振幅可通过解析方法计算。

2. 消光截面的求和规则

2.1 Plemelj公式

以Plemelj公式为分析起点。对于满足Plemelj公式的复值函数(f(k)=f_r(k)+if_i(k))，需满足在复平面上半部分(C^+ = {k \in C : Im k > 0})解析，在实轴上正则，且在封闭的上半复平面无穷远处趋于零。Plemelj公式如下：
[\begin{cases}
f_r(k) = \frac{1}{\pi}P\int_