10、场的积分表示相关研究

场的积分表示相关研究

1. 基本概念与预备知识

在研究场的积分表示时，有一些基本的概念和公式是需要了解的。对于一个内部开口角为 $\alpha$（圆形横截面）的圆锥，其立体角 $\Omega = 2\pi(1 - \cos\alpha)$，并且有如下公式：
[
\iint_{S} \left[g(k, |r - r’|)\hat{\nu}(r’) \cdot \nabla’\varphi(r’) - \varphi(r’)\hat{\nu}(r’) \cdot \nabla’g(k, |r - r’|)\right] dS’ - \iiint_{V} g(k, |r - r’|) \left(\nabla’^2\varphi(r’) + k^2\varphi(r’)\right) dv’ = \frac{1 - \cos\alpha}{2} \varphi(r), \quad r \in S
]

2. 向量积分表示的极限值 - 向量版本

2.1 从外部趋近的情况

我们对向量值积分表示（3.9）取极限，分析过程与标量情况类似。在一个正则点 $r \in S$ 应用积分表示，其中切向量在原体积 $V$ 的边界表面上连续。我们先考虑从外部趋近的情况，从体积 $V$ 中排除一个半球，记穿孔体积为 $V_{\epsilon}$，得到：
[
\iiint_{V_{\epsilon}} \left[g(k, |r - r’|) \left(\nabla’ \times (\nabla’ \times F(r’)) - \nabla’(\nabla’ \cdot F(r’)) - k^2F(r’)\right)\rig