26、非高斯数据同化中的集成学习与无导数优化变分数据同化

非高斯数据同化中的集成学习与无导数优化变分数据同化

1. 非高斯数据同化中的偏差影响与集成学习

1.1 偏差对高斯混合模型（GMM）估计的影响

在非高斯数据同化中，研究偏差对GMM估计的净影响十分重要。考虑一个均值为零的双峰先验分布，其模式位于 $\mu_m = \pm6\sigma$ 处，每个模式的方差为 $\sigma_m^2 = 1$，权重 $\alpha_m = 0.5$。当真实值与其中一个模式对齐时，偏差为零；当测量值位于两个混合模式之间时，定义偏差为100%。

为了研究偏差的影响，进行了如下实验：假设真实值是静止的，使用简单的前向模型 $\dot{x} = 0$ 和噪声方差为 $\sigma_r^2 = 1$ 的测量值。同时，运行一个卡尔曼滤波器，其先验方差等于GMM的总方差 $\sigma^2 = \sum_m \alpha_m((\mu_m - \mu)^2 + \sigma_m^2)$。每次获得测量值后，计算后验分布。通过多次试验，跟踪每个滤波器在五次滤波迭代中的估计误差。

实验结果表明，随着偏差的增加，GMM的平均性能远不如集合卡尔曼滤波器（EnKF）。图3(c)显示了卡尔曼估计的后验均值、GMM的主导模式及其均值与真实值的平均归一化均方根（RMS）估计误差。图3(d)表明，GMM收敛到误差减少80%的速度也慢得多。

GMM性能较差的原因在于，即使最佳后验模式的方差略低于EnKF，但由于未考虑包括均值方差在内的总方差，估计误差会增加。因此，在偏差存在的情况下，GMM滤波器收敛较慢，估计误差较大。而EnKF具有较大的初始卡尔曼增益，能够迅速将总体方差降低到渐近估计误差，总误差较小。特别是当模式碎片化时，GMM滤波器会失