异步与非线性下FBMC性能分析

异步和非线性FBMC系统的性能分析

摘要

本文对同步误差和高功率放大器（HPA）非线性失真在基于滤波器组的多载波（FBMC）系统上的联合影响进行了理论分析。将考虑一类有前景的FBMC调制，称为余弦调制多音（CMT）。对于所研究的系统，将在存在高功率放大器失真、定时误差和载波频率偏移（CFO）的情况下，推导出信号与干扰比（信干比）和误码率的解析表达式。为此，我们采用一些可接受的近似方法，推导出了干扰和有用信号功率的闭式表达式。所提出的模型与针对该系统或其他多载波系统（如SMT（交错调制多音）或正交频分复用）设计的现有模型进行了比较。

关键词

滤波器组多载波 · Cosine Modulated多音 ·高功率放大器 · Nonlinear失真 · Carrier频偏 · SINR

1 引言

正交频分复用（OFDM）可被视为使用最广泛的多载波调制形式，已被许多主要通信标准采用，例如数字音频广播（DAB）、数字视频广播—地面（ DVB‐T）、IEEE802.11a/g（Wi‐Fi）、IEEE 802.16（WiMAX）和长期演进 （LTE）。然而，尽管OFDM具有诸多优势，包括对频率选择性信道的鲁棒性、对符号间干扰（ISI）的强免疫力、信道均衡任务的简化以及通过快速傅里叶变换（FFT）实现高效实施，但OFDM系统仍存在一些问题：为避免ISI而使用的循环前缀（CP）不携带有效信息，导致频谱效率损失；此外，OFDM中使用的矩形脉冲波形具有较高的旁瓣，会引起较大的载波间干扰（ICI），使系统对频率同步误差非常敏感。由于上述缺点，研究人员对另一类多载波调制技术——滤波器组多载波（FBMC）越来越感兴趣。该技术采用频域局部化良好且旁瓣较小的有限冲激响应滤波器（FIR滤波器）代替OFDM中使用的矩形脉冲波形在正交频分复用中，这使得FBMC系统相较于正交频分复用对频率误差的敏感性更低[14]。此外，滤波器组多载波提供了比正交频分复用更高的带宽效率，因为它不需要保护间隔或循环前缀扩展。

遗憾的是，FBMC系统与其他多载波方案一样，对定时误差和载波频率偏移（CFO）非常敏感，CFO由发射机和接收机振荡器的频率失配以及发射机/接收机移动时的多普勒效应引起。这种敏感性已在[14,15],中通过信号与干扰比 （SIR）进行了说明，并在[10],中通过推导载波间干扰（ICI）和符号间干扰 （ISI）的精确和近似表达式来分析信噪比（SNR）的恶化程度。文献[14]提出 了在加性高斯白噪声（AWGN）信道下SIR的一个简单的闭式近似，该近似在较宽范围的CFO和定时偏移下均具有较高的准确性。FBMC系统的另一个严重问题是发射信号是由大量独立调制的子载波叠加而成，因此具有较高的峰均功率比（PAPR），使得系统对高功率放大器（HPA）等非线性器件引起的非线性失真（NLD）非常敏感。这一问题在正交频分复用（OFDM）系统中已得到广泛研究。文献[1,4]给出了NLD对OFDM信号的影响，并在[5,16]中提出了一些估计和补偿该NLD的方法。对于FBMC系统，文献[3]对在加性高斯白噪声和瑞利衰落信道下非线性放大的FBMC/OQAM信号的误码率（BER）性能进行了理论分析。

本文旨在研究同步误差和高功率放大器非线性失真对滤波器组多载波调制的联合影响。将推导出非同步且非线性失真的FBMC信号的信干比理论表达式。所提出的信干比表达式是通过遵循与[14]中相同的推导过程，并考虑NLD失真的影响而得到的。本文还将进行误码率性能的理论分析，并突出高功率放大器 NLD和/或载波频率偏移的影响。值得注意的是，目前针对非同步与高功率放大器非线性联合效应的研究较为有限。其中一项有趣的研究是[11], ，作者在该文中分析了非线性功率放大器与定时误差共同引起的干扰，适用于多载波 OFDM/FBMC传输。最近，我们通过对频率选择性信道下存在异步和非线性滤波器组多载波的多小区网络推导出精确的误码率表达式，提出了相应的理论分析[6,7]。在本研究中，我们将考虑频偏而非定时误差，并分别绘制信干比和误码率曲线随归一化载波频率偏移和信噪比的变化。关于滤波器组多载波调制，本文将考虑CMT系统，由于CMT信号可通过简单的调制步骤从SMT信号获得，因此结果可轻松扩展至SMT系统[9]。

本文的其余部分组织如下：在第2节中，介绍了本研究考虑的CMT系统， 并描述了高功率放大器非线性失真和同步误差的联合影响。在第3节中，我们对信干比和误码率进行了理论分析。第4节通过仿真结果评估了所得到的信干比和误码率表达式。最后，第5节对本文进行了总结。

2 系统模型：异步且非线性失真的CMT信号

2.1 考虑的CMT系统

CMT收发器的框图如图1所示。第 kth个子载波上的输入信号sk(t) 是传输速率为1/T的PAM数据符号 snk的序列。其表达式为

$$
sk(t)=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
snk\delta(t - nT) \tag{1}
$$

根据残留边带调制，每个输入信号 sk(t)应通过一个以频率 f=1/4T为中心的原型滤波器 h(t)的频移版本，即 h(t)ej(π/2T)t。得到的VSB调制信号随后与频移调制器 ejk((π/T)t+π/2)（其中 k= 0,…, N−1）相乘，并叠加形成发送的CMT信号 x(t)，其表达式为

$$
x(t)=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\sum_{k=0}^{N-1}
snkh(t − nT)e^{j \frac{\pi}{2}}=
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\sum_{k=0}^{N-1}
snk\gamma_{k,n}(t) \tag{2}
$$

其中 $\gamma_{k,n}(t) = h(t − nT)e^{j \frac{\pi}{2T} t}e^{j\Phi_k(t)}$ 且 $\Phi_k(t) = k(\frac{\pi}{T} t+ \frac{\pi}{2})$。

在接收端，如果考虑无任何失真源的理想传输，则在 mth时刻索引下第 kth个子载波上的估计的数据符号为

$$
\hat{s} {l,m} = Re\left{ \langle x(t), \gamma {l,m}(t) \rangle \right} = Re\left{ \int_{-\infty}^{\infty} x(t)\gamma^* {l,m}(t)dt \right}
= \sum_n \sum_k s {nk} \int_{-\infty}^{\infty} h(t − nT)h(t − mT) \cos\Phi_{k−l}(t)dt \tag{3}
$$

其中
– $\gamma^* {l,m}(t)$ 是 $\gamma {l,m}(t)$ 的复共轭，
– $\langle .,. \rangle$ 表示内积。

在这些条件下，由于原型滤波器 h的特殊结构导致干扰信号[8]自然抵消，估计的数据符号 $\hat{s} {l,m}$ 等于发送符号 $s {l,m}$。

发射机；(b) 接收机。)

2.2 高功率放大器非线性失真与同步误差的联合影响

在本小节中，我们将展示高功率放大器非线性失真和同步误差如何共同影响发送的 CMT信号。图2给出了包含高功率放大器非线性失真和同步误差模块的系统描述。

根据该图，CMT信号首先受到高功率放大器非线性失真模块的影响。高功率放大器的模型可以通过其幅度‐幅度转换和幅度‐相位转换来描述，这两者用于衡量信号包络变化引起的不期望的幅度变化和相位偏移程度。在文献中，通常使用布斯冈定理对高功率放大器引起的非线性失真进行建模，该定理指出图2中高功率放大器模块的输出信号可表示如下 [4]

$$
y(t)= \alpha x(t)+ d(t) \tag{4}
$$

其中 $\alpha= |\alpha|e^{j\phi_\alpha}$ 是一个复因子， $d(t)$ 是与 $x(t)$ 不相关的零均值加性噪声。

经过非线性模块后，得到的信号 y(t)随后受到符号定时偏移（STO） τ、载波频率偏移 （CFO） ε、载波相位偏移 φ以及加性高斯白噪声 n(t)的影响。因此，接收到的信号可以表示为

$$
r(t)= y(t − τ)e^{j(2\pi\varepsilon t+\varphi)}+ n(t) = \alpha x(t − τ)e^{j(2\pi\varepsilon t+\varphi)}+ d(t)e^{j(2\pi\varepsilon t+\varphi)}+ n(t) \tag{5}
$$

回想一下， $x(t)$ 由公式(2)给出。在接收端，第lth个子载波在第 0th个时间索引处的解调信号（为简便起见）为

$$
\hat{s} {l,0}= Re\left{ \langle r(t), \gamma {l,0}(t) \rangle \right}
= Re\left{ \int_{-\infty}^{\infty} \alpha x(t − τ)e^{j(2\pi\varepsilon t+\varphi)}h(t)e^{-j \frac{\pi}{2T} t}e^{j\Phi_{-l}(t)}dt \right}+ \hat{d} {l,0}+ \hat{n} {l,0} \tag{6}
$$

其中 $\hat{d} {0,l}$ 和 $\hat{n} {0,l}$ 由以下给出

$$
\hat{d} {l,0}= Re\left{ \int {-\infty}^{\infty} d(t)e^{j(2\pi\varepsilon t+\varphi)}\gamma^*_{l,0}(t)dt \right} \tag{7}
$$

$$
\hat{n} {l,0}= Re\left{ \int {-\infty}^{\infty} n(t)\gamma^*_{l,0}(t)dt \right} \tag{8}
$$

接下来，我们假设粗频和定时估计及补偿已经完成。然而，即使残余载波频偏 ε和符号定时偏移 τ足够小，仍会影响发射信号，且可采用一些数学近似进行处理，这些近似将在本文后续部分予以考虑。我们还假设相位偏移 φ和 φα在信道均衡过程中已被完全补偿。这可以通过使用单抽头均衡器并正确设置均衡器系数来实现[14]。

考虑到上述观察结果，并将 x(t − τ)替换为公式(6)中的表达式，估计的数据符号 $\hat{s}_{l,0}$ 可重写为

$$
\hat{s} {l,0}= Re\left{ \sum {n=-\infty}^{\infty} \sum_{k=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} |\alpha|s_{nk}h(t)h(t − nT − τ) \times e^{j(\Phi_{k−l}(t,\tau)+2\pi\varepsilon t)}dt \right}+ \hat{d} {l,0}+ \hat{n} {l,0} \tag{9}
$$

其中 $\Phi_{k−l}(t, \tau)=\Phi_{k−l}(t) − k\frac{\pi}{T} \tau$。

公式(9)表明，除了加性高斯白噪声外，接收符号还受到一个恒定衰减因子 $|\alpha|$ 和一个由于非线性功率放大器模块引起的非线性噪声 $\hat{d} {l,0}$ 的影响。此外，载波频率偏移 ε和符号定时偏移τ将分别破坏子载波间的正交性和原型滤波器的奈奎斯特特性，从而导致载波间干扰和符号间干扰，如下式中 $\hat{s} {l,0}$ 所示

$$
\hat{s} {l,0}= |\alpha|s {l,0}Re\left{ \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − τ)e^{j(2\pi\varepsilon t−l \frac{\pi}{T} \tau)} \right}+ \xi_{ici,isi}(\varepsilon, \tau)+ \hat{d} {l,0}+ \hat{n} {l,0} \tag{10}
$$

其中

$$
\xi_{ici,isi}= |\alpha|Re
\left{
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\sum_{\substack{k=0 \ (n,k) \neq (m,l)}}^{N-1}
s_{nk}\int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − nT − τ)e^{j(\Phi_{k−l}(t,\tau)+2\pi\varepsilon t)}dt
\right} \tag{11}
$$

3 对HPA NLD和载波频率偏移的敏感性分析

3.1 信干比分析

本文考虑的第一个性能指标是信号与干扰比（信干比），其在高功率放大器非线性失真（HPA NLD）存在的情况下可以被定义。

和同步误差通过

$$
SIR(\varepsilon, \tau)= \frac{P_s(\varepsilon, \tau)}{P_i(\varepsilon, \tau)+ E[| \hat{d}_{0,l}|^2]} \tag{12}
$$

其中 $P_s(\varepsilon, \tau)$、 $P_i(\varepsilon, \tau)$ 和 $E[|\hat{d} {0,l}|^2]$ 分别为有用信号功率、干扰功率以及非线性噪声 $\hat{d} {0,l}$ 的期望值。

由公式(10)可得，有用信号的功率可表示如下

$$
P_s(\varepsilon, \tau)= |\alpha|^2\sigma^2_s \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − τ) \cos(2\pi\varepsilon t − l \frac{\pi}{T} \tau) dt \right|^2 \tag{13}
$$

其中 $\sigma^2_s$ 是发送符号的方差。

关于干扰的功率，它等于

$$
P_i(\varepsilon, \tau)= E[|\xi_{ici,isi}|^2]
= |\alpha|^2\sigma^2_s
\sum_{n=-\infty}^{\infty}
\sum_{\substack{k=0 \ (n,k) \neq (m,l)}}^{N-1}
\left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − nT − τ) \cos(\Phi_{k−l}(t, \tau)+ 2\pi\varepsilon t) dt \right|^2 \tag{14}
$$

如果考虑一些观察结果，该表达式可以大大简化。首先，我们假设只有相邻的子信道会显著重叠。因此，载波间干扰仅由相邻子载波 k= l −1和 k= l+1引起。对于时间索引也可以做同样的假设，因为原型滤波器 h（t）的设计目的是最小化相邻时隙符号之外的符号间干扰影响。此外，为简化起见，我们假设信号在子载波 l= 0上接收，这意味着式（14）中对 n和 k的求和将仅限于取值 −1、0 和 1。最后，我们假设载波频率偏移 ε非常小。因此，我们可以写出 $\sin(2\pi\varepsilon t) ≈ 2\pi\varepsilon t$ 且 $\cos(2\pi\varepsilon t) ≈ 1$。

利用上述假设，并按照与[14],相同的推导过程，有用信号功率和干扰功率可分别重写如下

$$
P_s(\varepsilon, \tau) ≈ |\alpha|^2\sigma^2_s\beta(\tau)= |\alpha|^2\sigma^2_s \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − τ)dt \right|^2 \tag{15}
$$

and

$$
P_i(\varepsilon, \tau)= 2|\alpha|^2\sigma^2_s \sum_{n=-1}^{1} \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − nT − τ) \sin\left(\frac{\pi}{T}(t − τ)\right) dt \right|^2
+ |\alpha|^2\sigma^2_s \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t± T − τ)dt \right|^2
+ 8\pi^2|\alpha|^2\sigma^2_s \varepsilon^2 \sum_{n=-1}^{1} \left| \int_{-\infty}^{\infty} t h(t)h(t − nT − τ) \cos\left( \frac{\pi}{T}(t − τ) \right) dt \right|^2 \tag{16}
$$

异步和非线性FBMC系统的性能分析

3 对HPA NLD和载波频率偏移的敏感性分析（续）

3.1 信干比分析（续）

让我们定义以下系数

$$
\lambda(\tau)= 8\pi^2 \sum_{n=-1}^{1} \left| \int_{-\infty}^{\infty} t h(t)h(t − nT − τ) \cos\left(\frac{\pi}{T}(t − τ)\right) dt \right|^2 \tag{17}
$$

and

$$
\eta(\tau)= 2 \sum_{n=-1}^{1} \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t − nT − τ) \sin\left(\frac{\pi}{T}(t − τ)\right) dt \right|^2 + \left| \int_{-\infty}^{\infty} h(t)h(t± T − τ)dt \right|^2 \tag{18}
$$

因此，干扰功率可以表示为

$$
P_i(\varepsilon, \tau)= |\alpha|^2\sigma^2_s(\lambda(\tau)\varepsilon^2+ \eta(\tau)) \tag{19}
$$

信干比表达式（12）变为

$$
SIR(\varepsilon, \tau)= \frac{\beta(\tau)}{\lambda(\tau)\varepsilon^2+ \eta(\tau)+ \frac{\sigma^2_d}{|\alpha|^2\sigma^2_s}} \tag{20}
$$

其中我们假设

$$
E\left[ \left| \hat{d} {0,0} \right|^2 \right] = E\left[ \left| Re\left{ \int {-\infty}^{\infty} d(t)e^{j2\pi\varepsilon t}\gamma^*_{0,0}(t)dt \right} \right|^2 \right] \approx \sigma^2_d \tag{21}
$$

其中 $\sigma^2_d$ 是非线性噪声 $d(t)$ 的方差。

As在 $\tau$ 取小值时的 [14], 中，我们将考虑以下近似

$$
\beta(\tau) \approx \beta(0)= \left| \int_{-\infty}^{\infty} h^2(t)dt \right|^2 = 1
$$

$$
\lambda(\tau) \approx \lambda(0)= 8\pi^2 \sum_{n=-1}^{1} \left| \int_{-\infty}^{\infty} t h(t)h(t − nT) \cos\left(\frac{\pi}{T} t\right) dt \right|^2
$$

$$
\eta(\tau) \approx \eta(0)= 0 \tag{22}
$$

其中第一和第三等式源于定义为[8]的CMT系统的正交条件

$$
\int_{-\infty}^{\infty} h(t − m)h(t − nT) \cos(\Phi_{k−l})dt= \delta_{kl}\delta_{mn} \tag{23}
$$

这种近似导致信干比的以下简化表达式

$$
SIR(\varepsilon)= \frac{1}{\lambda(0)\varepsilon^2+ \frac{\sigma^2_d}{|\alpha|^2\sigma^2_s}} \tag{24}
$$

该表达式可以与[14]中针对受载波频率偏移和符号定时偏移影响但无高功率放大器非线性失真情况下的SMT系统所得的表达式进行比较。文献[14]作者给出的表达式为

$$
SIR^{[1]}(\varepsilon, \tau)= \frac{1}{\lambda^{[1]}(0)\varepsilon^2+ \eta^{[1]}(0)\tau^2} \tag{25}
$$

公式（24）也可以与正交频分复用系统得到的表达式 [12] 进行比较

$$
SIR_{\text{ofdm}}(\varepsilon)= \frac{1}{(\pi^2/3)\varepsilon^2} \tag{26}
$$

始终不考虑高功率放大器非线性特性。这些比较及其他分析将在第4节中进行。

3.2 误码率分析

在本小节中，我们将对所考虑的CMT系统进行误码率分析。特别是，重点将放在载波频率偏移和高功率放大器非线性失真对误码率性能的影响上。

考虑到公式(24)给出的信干比表达式，我们可以通过考虑加性高斯白噪声 $n(t)$ 来推导出信号与干扰加噪声比（信干噪比）的表达式。因此，信干噪比可表示为

$$
SINR(\varepsilon)= \frac{1}{|\alpha|^2\lambda(0)\varepsilon^2+ \frac{\sigma^2_d}{\sigma^2_s} + \frac{1}{SNR}} \tag{27}
$$

其中 $SNR= \sigma^2_s/\sigma^2_n$ 是不存在同步误差和高功率放大器非线性失真时的信噪比值。

四电平脉冲幅度调制在加性高斯白噪声信道中的误码率由以下表达式给出 [13]

$$
BER= \frac{3}{4} \text{erfc}\left( \sqrt{ \frac{1}{5} SNR } \right) \tag{28}
$$

将(27)代入(28)中，我们得到了在存在载波频率偏移 $\varepsilon$ 和高功率放大器非线性的情况下所研究的CMT系统的误码率精确闭式解

$$
BER(SNR)= \frac{3}{4} \text{erfc} \left( \left( \frac{1}{5} \cdot \frac{|\alpha|^2}{|\alpha|^2\lambda(0)\varepsilon^2+ \frac{\sigma^2_d}{\sigma^2_s} + \frac{1}{SNR}} \right)^{1/2} \right) \tag{29}
$$

该表达式清楚地表明，误码率性能受到高功率放大器非线性和载波频率偏移的影响。CMT系统在误码率和信干比方面的敏感程度将在下一节通过计算机仿真进行量化。

4 结果

在本节中，我们将展示之前针对所考虑的CMT系统推导出的信干比和误码率解析表达式的数值结果。所提出的模型将与为其他多载波系统（如SMT和 OFDM）设计的现有模型进行比较。在所有仿真中，我们考虑了一个具有N = 64个子载波的CMT系统，用于传输四电平脉冲幅度调制符号。此外，采用重叠因子为 4[2]的PHYDYAS 原型滤波器。我们回顾一下，归一化分数载波频率偏移 $\varepsilon_N= 2T\varepsilon$ 定义在范围 $-0.5 \leq \varepsilon_N \leq 0.5$ 内，这意味着载波频率偏移 $\varepsilon$ 取值介于 $-0.16$ 和 $0.16$ 之间。下一小节中呈现的信干比曲线将作为 $\varepsilon_N$ 的函数绘制，而不是 $\varepsilon$，并且仅考虑$[0, 0.5]$的取值范围，因为信干比表达式是 $\varepsilon_N$ 的偶函数。

4.1 信干比性能

图3显示了对应于公式(24)、(25)和(26)的信干比曲线。我们回顾一下，这些表达式分别针对遭受高功率放大器非线性失真和载波频率偏移的CMT系统、遭受载波频率偏移和符号定时偏移的SMT系统以及遭受载波频率偏移的OFDM系统推导得出。此外，我们还绘制了未受非线性失真影响的CMT系统的信干比曲线、同时受载波频率偏移、符号定时偏移和非线性失真影响的SMT系统的信干比曲线，以及受载波频率偏移和非线性失真影响的OFDM系统的信干比曲线。图3所示结果表明，在没有非线性失真的情况下，CMT信号对载波频率偏移的敏感度低于SMT和OFDM信号。这可以解释为OFDM系统中使用的矩形脉冲形状具有较高的旁瓣，以及SMT传输符号实部与虚部之间的相互干扰引入了额外的信干比下降来源。图3还表明，这三种系统的信干比对高功率放大器的非线性失真都非常敏感。

随着载波频率偏移的增加，这种敏感性变得不那么显著。这一结果可以解释为：当载波频率偏移较大时，其成为主要的失真源，而高功率放大器非线性失真的影响变得最小。此外，可以观察到，在存在高功率放大器非线性失真的情况下，CMT系统的表现仍然优于SMT和正交频分复用系统。

4.2 误码率性能

在本小节中，我们将展示高功率放大器非线性失真4中给出的式（29）与仅受载波频率偏移或高功率放大器非线性失真影响的CMT系统的误码率进行了比较。同时，也考虑了无高功率放大器非性的理想同步场景作为对比。如图4所示，高功率放大器非线性失真和载波频率偏移会导致误码率性能严重下降。然而，当CMT信号同时受到非线性失真和载波频率偏移的影响时（如所提出的模型（式（29））所示），误码率的恶化更为显著。例如，要达到 $10^{-2}$ 的误码率，存在载波频率偏移的非线性CMT系统需要15 dB的信噪比，而仅受非线性失真（分别地，载波频率偏移）影响的CMT系统仅需14.3 dB（分别地，12.5 dB）的信噪比，这意味着发射信号功率损失了0.7 dB（分别地，1.5 dB）。图4还显示，在相对较低的信噪比（SNR< 5分贝）下，这三种系统的误码率性能非常接近最优场景的误码率性能。这是由于非线性高功率放大器和载波频率偏移引起的残余性能退化与加性高斯白噪声相比可以忽略不计。另一方面，当信噪比升高时，这三种模型的误码率退化变得显著。这可以解释为：在高信噪比情况下，由载波频率偏移和/或高功率放大器非线性失真引起的干扰相较于噪声水平更加突出。

5 结论

本文研究了载波频率偏移和高功率放大器非线性失真对滤波器组多载波系统的联合影响。考虑了一种CMT收发器，并推导了信干比和误码率的解析表达式。所提出的信干比表达式与为其他多载波系统（如SMT和正交频分复用）设计的现有模型进行了比较。我们表明，信干比性能对非线性失真高度敏感，因此对于多载波系统而言，高功率放大器的影响不可忽略。误码率性能也得出了相同的结论，其受到非线性放大器引起的非线性失真的严重影响。