11、探索机器学习中的支持向量机与内核方法

探索机器学习中的支持向量机与内核方法

1 支持向量机简介

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）是机器学习领域中一种强大的监督学习方法，广泛应用于分类、回归和异常检测任务中。SVM的核心思想是通过将数据映射到高维空间，从而在该空间中找到一个最优超平面来最大化不同类别之间的间隔。这种最大化间隔的方法不仅提高了模型的泛化能力，还减少了过拟合的风险。

1.1 支持向量机的基本概念

支持向量机的主要目标是找到一个超平面，使得不同类别的样本点到该超平面的距离最大化。假设我们有两个类别的数据点，分别标记为+1和-1。理想情况下，我们希望找到一个超平面 ( w \cdot x + b = 0 )，使得所有标记为+1的点都在超平面的一侧，而标记为-1的点在另一侧。此时，超平面两侧的点到超平面的距离分别为：

[ d_+ = \frac{w \cdot x_+ + b}{||w||} ]
[ d_- = \frac{w \cdot x_- + b}{||w||} ]

为了最大化这两个距离，我们需要最小化 ( ||w|| )。因此，支持向量机的优化问题可以表述为：

[ \min_{w,b} \frac{1}{2} ||w||^2 ]
[ \text{s.t. } y_i (w \cdot x_i + b) \geq 1, \forall i ]

其中 ( y_i ) 是样本 ( x_i ) 的标签，取值为+1或-1。

1.2 支持向量与软间隔

在实际应用中，数据往往是非线性可分的，即不存在一个完美的超平面可以完全分开两类数据。