39、加权网络：概念、度量与应用

加权网络：概念、度量与应用

1. 加权网络概述

在实际的网络中，节点之间的连接强度存在很大差异。例如，在社会系统中，人与人之间的关系有强弱之分；在基础设施网络，如互联网或交通系统中，连接的容量也各不相同。当我们能够获取复杂系统中交互强度的信息时，使用加权网络来描述系统结构会更加合适。加权网络是指每个链接都关联一个数值（通常为正实数），该数值代表对应连接的强度。

2. 调整交互

• 加权的必要性 ：以科研合作网络为例，若仅根据科学家是否共同撰写过论文来构建网络，无法体现合作的紧密程度。合理的做法是根据合作频率对链接进行加权，即共同撰写论文数量多的科学家之间的链接权重应大于仅共同撰写一篇论文的科学家之间的链接权重。

• 加权科研合作的示例 ：Mark Newman 提出了一种加权的合著网络，两个合作者 i 和 j 之间交互的权重 $w_{ij}$ 定义为：
  [w_{ij} = \sum_{p} \frac{\delta_{i}^{p} \delta_{j}^{p}}{n_{p} - 1}]
  其中，索引 p 遍历所有论文，$\delta_{i}^{p}$ 表示作者 i 是否对论文 p 有贡献（有贡献为 1，否则为 0），$n_{p}$ 是论文 p 的作者数量。这样可以综合考虑作者共同撰写的论文数量以及每篇论文的作者数量。

• 加权图的定义 ：

  • 加权图 $G_{w} \equiv (N, L, W)$ 由节点集合 $N$、链接集合 $L