随机变量和的分布—卷积公式distribution convolution的应用

在概率论里面,大家都会碰到一类问题,就是涉及到这样一类题目:
在这里插入图片描述

一般来说,这种类型的题目有两种方法来解决,第一种就是二重积分法;第二种就是应用卷积公式。下面我给大家列出了卷积公式:
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

但是呢,我一般给我的学生推荐,我只会强烈推荐利用卷积公式,没有对比就没有伤害,我下面对一个例子应用两种方法来解决一下,大家自见分晓(●’◡’●)

方法一:“二重积分”法

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

方法二:“卷积公式”法

在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
这样一看,用卷积公式确实要简单很多了,对比也是很明显的。

主要参考资料说明:主要参照《概率论与数理统计》第二版,四川大学出版社,邹述超,何腊梅,编.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/133690763

### 一维随机变量分布函数 对于任意实数 \( x \),设 \( X \) 是一个随机变量,其分布函数定义为: \[ F_X(x) = P(X \leq x), \quad -\infty < x < +\infty \] 其中,\( F_X(x) \) 表示随机变量 \( X \) 取值小于等于 \( x \) 的概率[^2]。 #### 分布函数的主要性质 1. **单调不减性**:如果 \( x_1 < x_2 \),那么有 \( F_X(x_1) \leq F_X(x_2) \)[^2]。 2. **右连续性**:对于任何实数 \( x \),都有 \( F_X(x+) = F_X(x) \)[^2]。 3. **边界条件**: - 当 \( x \to -\infty \) 时,\( F_X(x) \to 0 \); - 当 \( x \to +\infty \) 时,\( F_X(x) \to 1 \)。 #### 连续型随机变量分布函数 如果随机变量 \( X \) 是连续型的,则它的分布函数可以表示为: \[ F_X(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt, \quad -\infty < x < +\infty \] 这里,\( f(t) \) 是 \( X \) 的概率密度函数,并满足以下两个条件: - 非负性:\( f(t) \geq 0 \) 对于所有 \( t \) 成立; - 归一化:\( \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1 \)[^2]。 #### 离散型随机变量分布函数随机变量 \( X \) 是离散型时,假设它可能取值为 \( x_1, x_2, \dots \),对应的概率分别为 \( p_1, p_2, \dots \),则分布函数可以写成累加的形式: \[ F_X(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i) = \sum_{x_i \leq x} p_i \][^4]。 这里的求是对所有不大于 \( x \) 的可能取值进行计算。 ```python import numpy as np def distribution_function_discrete(values, probabilities, x): """ 计算离散型随机变量分布函数F(x) 参数: values (list): 随机变量的所有可能取值. probabilities (list): 各个取值对应的发生概率. x (float): 输入值. 返回: float: 分布函数值F(x). """ return sum(p for v, p in zip(values, probabilities) if v <= x) values = [1, 2, 3] probabilities = [0.2, 0.5, 0.3] x = 2 result = distribution_function_discrete(values, probabilities, x) print(f"F({x}) =", result) ```
评论 1
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值