[BCSP-X2024.小高3] 学习计划

题目描述

暑假共有 n 天，第 i 天的精力指数为 a[i]，你想要利用假期依次（按 1,2,...,m 顺序）复习 m 门功课，第 i 门功课的重要程度为 b[i]，且每门的复习时段必须连
续，并且不能有某天不干事。

假设第 i 门功课的复习时段为第 l∼r 天，那么第 i 门功课的收益为 b[i]×(a[l]+a[l+1]+...+a[r])，你的总收益为 m 门功课收益的总和。

请你制订一个复习计划，使得总收益最大。

形式化地，给定序列 a[1∼n],b[1∼m]，你需要把 1,2,...,n 这个序列分成首尾相
连且非空的 m 段，假设每段的 a 之和为 s[1∼m]，最大化 ∑i+1m​b[i]×s[i] 的值。

例如 a=[−3,6,−1,−8,7,−6],b=[−3,2]，最优策略是第 1∼4 天复习第 1 门功课，收益为 −3×(−3+6−1−8)=18；第 5∼6 天复习第 2 门功课，收益为 2×(7−6)=2；总收益为 18+2=20。

例如 a=[6,3,5,10,5],b=[−8,−5,−5]，最优策略是分成 [1],[2,3,4],[5] 三段，总收益为 −8×6−5×(3+5+10)−5×5=−163。

输入格式

第一行为 1 个整数 T，代表有 T 组数据。

每组数据第一行 2 个整数 n,m，第二行 n 个整数 a[1∼n]，第三行 m 个整数 b[1∼m]。

输出格式

输出 T 行，每行 1 个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

5
6 2
-3 6 -1 -8 7 -6
-3 2
5 4
-9 -6 -6 -7 -8
-5 7 -9 -3
7 7
7 2 3 0 -2 4 2
-9 -2 -5 0 -7 9 -1
5 3
10 4 6 7 4
-1 -9 2
5 3
6 3 5 10 5
-8 -5 -5

样例输出 #1

20
144
-34
-12
-163

提示

对于所有数据，满足 1≤T≤20，1≤m≤n≤2000，−10^3≤a[i],b[i]≤10^3 。

对于测试点 1∼7：n≤10

对于测试点 8∼12：n≤500

对于测试点 13∼16：所有 a[i],b[i] 均为正整数

对于测试点 17∼20：n≤2000

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[2010],b[2010];//-1e3~1e3 -1e3~1e3
int dp[2010];//-2e9~2e9
int main()
{
	int t;//1~2e1
	cin>>t;
	while(t--)
	{
		memset(dp,0x80,sizeof(dp));
		int n,m;//1~2e3
		cin>>n>>m;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			cin>>a[i];
		for(int i=1;i<=m;i++)
			cin>>b[i];
		dp[1]=a[1]*b[1];
		for(int i=2;i<=n;i++)
			for(int j=m;j>=1;j--)
				dp[j]=a[i]*b[j]+max(dp[j-1],dp[j]);
		cout<<dp[m]<<endl;
	}
	
	return 0;
}

背景

        这道题是我考BCSP-X的T3，当时直接爆零……

主题思路

        首先，最重要的一点——你得意识到这是个DP。在这之后，要思考几件事。

                1.不出意外的话，这是个二维dp，毕竟是T3。

                2.直觉告诉我们，dp[i][j]里存的是到i为止的最大收益。那第一、二维代表什么？可以找题目中的时间，状态，以及其他变量。有时间（天），那第一维就是天。很显然，第二维最合适的的是科目，因为它与时间没有什么关联，而且是决定答案的关键因素之一。

                3.dp[i][j]是由什么推导而来的？即第1~i天如果选择第j门功课，最大收益与什么有关联？走到这一步时，首先要加上今天本身的收益——a[i]*b[j]，紧接着要加第1~i-1天的最大收益，这时你有两个选择（要选最大值）。如果你仍延续了昨天的选择，如继续学习语文，那么要加上dp[i-1][j]，时间变为昨天，科目不变；如果你换了一科，如改为学习数学，那么要加上dp[i-1][j-1]，时间变为昨天，科目变为上一个科目。注意，题目中说“你想要利用假期依次（按 1,2,...,m 顺序）复习 m 门功课”，那么你就只能是紧挨着你的上一个功课变来的。

         接下来就没什么了，由3.我们可以得到最最最重要的状态转移方程式：dp[i][j]=a[i]*b[j]+max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j]);，就……做完了。

细节重点

        1.由于是多组数据，肯定少不了memset。a、b数组会覆盖不用管，但是dp要给赋值成极小值。这是因为在max(dp[j-1],dp[j])处可能会取到尚未赋值的dp区域，如果赋值的部分是负数，理论上应取这个负数，但如果置成0就会取0，所以最开始要赋值为极小值（0x80808080），让他“被迫”选这个复数。

        2.写完之后，你会发现这道题像极了01背包，相应的，你也可以做同样的空间压缩。由于每次只与上一行有推导关系，可以将第一维删去。需要注意的是，如果你想访问上一轮的数据，在递推的第二层循环处你需要改成逆序。