<think>嗯，用户问的是如何用Python解决过河卒问题，也就是NOIP 2002普及组的P1002题目。首先，我需要回忆一下这个问题的具体要求。题目大意是说，一个卒子要从起点A走到终点B，棋盘上的点有一些被对方的马控制住了，不能经过。需要计算所有可能的路径数目，且卒子只能向右或向下移动。
那首先得明确几个关键点。首先，棋盘的大小，应该是从(0,0)到(n,m)，而马的位置是给定的，并且马能控制的点包括自身和周围的八个点，这些点都是不能走的。然后，路径的计算应该是一个动态规划的问题，因为每个点的路径数等于左边和上边点的路径数之和，前提是该点可走。
接下来，我得考虑如何用Python实现动态规划。通常，动态规划问题需要一个二维数组来存储每个位置的路径数。初始化的时候，起点(0,0)的路径数是1，如果起点不被马控制的话。然后，对于每个点(i,j)，如果该点可走，那么dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。需要考虑边界情况，比如第一行和第一列，这时候只能从左边或上边来，不能越界。
然后，关于马的控制的点，需要预先计算出来。例如，给定马的坐标(x,y)，那么被控制的点包括周围的八个点以及自己，所以需要把这些点标记为不可达。在代码中，可以用一个二维数组来标记这些点，或者在计算每个点时检查是否在被控制的点集合里。
另外，需要注意数据范围，题目中可能有较大的数值，导致溢出。不过，在Python中整数的大小不用担心，但如果是其他语言可能需要用长整型。这里用户要求用Python，所以不用考虑这个问题。
然后，测试一下样例输入，比如题目中的样例输入是6,6,3,3，输出应该是6。这时候需要确保代码能正确处理这种情况。例如，马的位置在(3,3)，那么被控制的点包括周围的八个点和自己，这些位置在棋盘上会被标记，不能经过。然后，路径计算的时候需要跳过这些点。
可能的错误点包括：初始化dp数组的时候没有正确处理被控制的起点，或者在动态规划的过程中没有正确跳过被控制的点。另外，边界情况的处理，比如当第一行或第一列的点被控制时，后面的路径数应该是0，因为无法到达。
接下来，看看用户提供的引用。引用3和4提到了使用二维数组dp[i][j]，并且递推式是dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]，这应该是正确的。引用5也提到需要计算路径数，假设马的位置固定。所以动态规划的方法是适用的。
现在，考虑代码的结构。首先输入终点B的坐标(n,m)和马的坐标(x,y)。然后，生成被马控制的点，存入一个集合。然后初始化dp数组，大小应该是(n+1) x (m+1)，因为坐标从0开始。然后，遍历每个点，如果该点被控制，则dp[i][j] = 0。否则，如果是起点，则dp[0][0]=1。否则，计算左边和上边的和。
需要注意的是，在遍历的时候，如果i或j为0，即第一行或第一列，只能从左边或上边来。例如，当i=0时，只能从左边来，即j-1的位置。当j=0时，只能从i-1的位置来。需要处理这些情况，避免数组越界。
然后，编写代码时需要注意Python中的二维数组初始化。可以用一个列表的列表，初始化为全0，然后逐步填充。
另外，测试样例的情况，比如当起点被控制的话，直接输出0。或者当终点被控制的话，也是0。
现在，具体的代码实现步骤：
1. 读取输入，通常是n, m, x, y。假设输入是终点坐标(n, m)，马的位置(x, y)。需要注意题目中的输入顺序，比如是否终点是B点的坐标，可能要看题目描述。例如，原题可能输入的是B点的坐标，即(n, m)，而马的坐标是(x, y)。比如样例输入是6 6 3 3，对应的终点是(6,6)，马在(3,3)。
2. 生成被控制的点。马的坐标是(x, y)，被控制的点包括：
(x, y)
(x+1, y+2)
(x+2, y+1)
(x+2, y-1)
(x+1, y-2)
(x-1, y-2)
(x-2, y-1)
(x-2, y+1)
(x-1, y+2)
总共九个点。但是需要注意这些点是否在棋盘范围内。例如，当x-2 <0或者y+2超过m的时候，这些点可能不存在。但是，在动态规划过程中，这些点会被自动排除，因为遍历的时候i和j的范围是0到n和0到m。不过，在生成被控制的点时，应该包括所有可能的点，不管是否在棋盘内，因为在动态规划的过程中，当判断一个点是否在棋盘内时，已经被处理了。或者，也可以在生成被控制点时，检查是否在棋盘范围内。但根据原题的意思，被控制的点即使超出棋盘范围，是否会影响？应该是不影响的，因为只有棋盘内的点才会被考虑。所以，生成所有可能的九个点，并存储到集合中。当遍历时，遇到这些点且在棋盘范围内的话，就标记为不可达。
或者，生成时可以直接检查是否在0<=x<=n和0<=y<=m的范围内，但可能没有必要，因为不在棋盘范围内的点不会被遍历到。例如，在遍历i和j的时候，范围是0到n和0到m，所以即使被控制的点超出这个范围，也不会被访问到。所以，在生成被控制点时，可以不管是否在棋盘内，然后在遍历的时候判断该点是否在棋盘内和被控制。
或者，可能更高效的是在生成被控制点的时候，排除那些超出棋盘范围的坐标。例如，马的坐标是(x, y)，然后周围的八个点可能超出棋盘，所以需要检查它们的坐标是否在0<=x<=n和0<=y<=m之间。例如，原题中的棋盘范围是0到n和0到m？
可能原题中的棋盘是B点坐标为(n, m)，所以棋盘的大小是(n+1) x (m+1)，因为包括从0到n的n+1个点。例如，如果B是(6,6)，那么棋盘是0到6，共7个点。这时候，被控制的点必须是在0到n和0到m之间的坐标才会被考虑。否则，即使被马控制，但位于棋盘之外，不影响路径。
例如，在样例输入中，马的位置是(3,3)，周围的点可能包括(4,5)，但n和m是6，所以该点在棋盘范围内。但例如，如果马的坐标是(0,0)，那么周围的点可能包括(-1,2)，这在棋盘外，不会被考虑。
因此，在生成被控制的点时，应该生成所有可能的九个点，然后过滤掉那些不在棋盘范围内的点。或者，在代码中直接生成所有可能的点，然后在动态规划过程中，当遍历到每个点时，检查是否在被控制点集合中。如果该点不在棋盘范围内，则不会被访问到，所以不需要处理。
比如，被控制的点可能包括(x-1, y-2)，如果x-1 <0或者y-2 <0，那么这些点不会在动态规划的遍历中被处理，所以无需过滤。
所以，在生成被控制的点时，可以直接生成所有九个点，不管是否超出棋盘范围。因为在遍历的时候，i的范围是0到n，j是0到m，所以这些被控制的点如果在棋盘外的话，不会被遍历到，所以不影响。
接下来，初始化dp数组。创建一个二维数组，大小为(n+1) x (m+1)，初始化为0。然后，起点dp[0][0] = 1，如果起点不在被控制的点集合中，否则为0。
然后，遍历每个点，按行或列的顺序。比如，双重循环，i从0到n，j从0到m。对于每个点(i,j)，如果(i,j)在被控制的点集合中，则dp[i][j] =0。否则，如果i==0且 j==0，那么dp[0][0]已经被初始化。否则，计算左边和上边的值的和。如果i>0，则加上dp[i-1][j]，如果j>0，则加上dp[i][j-1]。
需要注意的是，对于第一行（i=0），只能从左边（j-1）得到路径数。例如，当i=0且j>0时，dp[i][j] = dp[i][j-1]。同样，当j=0且i>0时，dp[i][j] = dp[i-1][j]。
同时，如果当前点(i,j)被控制的话，dp[i][j]设为0，这样后续的点无法从这里经过。
举个例子，假设起点(0,0)不被控制，那么dp[0][0]=1。然后，对于第一行的点(0,1)，如果该点不被控制，那么dp[0][1]=dp[0][0] =1。如果被控制的话，则为0，后续的点无法从这经过。
这样，整个动态规划的过程就能正确计算路径数目。
现在，将这些思路转化为Python代码。首先，读取输入。例如，输入可能是四个整数，n, m, x, y。例如，样例输入是6 6 3 3。然后，生成被控制的点集合。
代码的大致步骤：
1. 读取输入n, m, x, y。
2. 生成被控制的点集合。
3. 初始化dp二维数组。
4. 遍历每个点，计算dp[i][j]。
5. 输出dp[n][m]。
接下来，具体实现生成被控制点的部分：
被控制的点包括：
(x, y),
(x+1, y+2),
(x+2, y+1),
(x+2, y-1),
(x+1, y-2),
(x-1, y-2),
(x-2, y-1),
(x-2, y+1),
(x-1, y+2)
将这些点存储在一个集合中，例如：
control_points = set()
然后，将这些点逐一添加到集合中。
例如：
dx = [0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1]
dy = [0, 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2]
for k in range(9):
nx = x + dx[k]
ny = y + dy[k]
control_points.add( (nx, ny) )
这样，生成九个点。
然后，初始化dp数组：
n和m是终点坐标。假设输入的n和m是棋盘的终点坐标，比如棋盘是0到n的n+1行，0到m的m+1列。
所以，dp数组的大小为(n+1) x (m+1)。可以用列表推导式初始化：
dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
然后，处理起点：
if (0, 0) not in control_points:
dp[0][0] = 1
else:
dp[0][0] =0
然后，遍历每个点i和j：
for i in range(n+1):
for j in range(m+1):
if i ==0 and j ==0:
continue # 已经处理过
if (i,j) in control_points:
dp[i][j] =0
else:
if i >0:
dp[i][j] += dp[i-1][j]
if j >0:
dp[i][j] += dp[i][j-1]
但是，这样的双重循环可能会覆盖一些情况。例如，当i和j都为0的时候已经被处理过。或者，可以合并到循环内部：
for i in range(n+1):
for j in range(m+1):
if (i, j) in control_points:
dp[i][j] =0
else:
if i ==0 and j ==0:
dp[i][j] =1
else:
sum_val =0
if i >0:
sum_val += dp[i-1][j]
if j >0:
sum_val += dp[i][j-1]
dp[i][j] = sum_val
这样，无论i和j是否为0，都会被处理。不过，这样可能在每次循环中都要判断是否是被控制的点，导致效率问题。但对于题目中的数据范围，这应该不是问题。
现在，测试样例输入：
输入：6 6 3 3
被控制的点包括：
(3,3)周围的八个点，如(4,5), (5,4), (5,2), (4,1), (2,1), (1,2), (1,4), (2,5)，以及(3,3)自己。
然后，动态规划计算路径数时，这些点被设为0。例如，当i=3,j=3时，dp[3][3]=0，因为被控制。
那么，路径数最终是6。代码是否能正确输出？
可能需要进一步测试代码是否正确。
此外，需要注意坐标的方向。比如，在动态规划中，是否i代表行，j代表列？是的，因为棋盘应该是二维的，所以i和j的遍历是正确的。
另外，原题中的卒只能向下或向右走，也就是每一步只能向右或向下移动，所以动态规划的递推式是正确的。
现在，编写代码：
n, m, x, y = map(int, input().split())
control_points = set()
dx = [0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1]
dy = [0, 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2]
for k in range(9):
nx = x + dx[k]
ny = y + dy[k]
control_points.add( (nx, ny) )
dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
for i in range(n+1):
for j in range(m+1):
if (i, j) in control_points:
dp[i][j] =0
else:
if i ==0 and j ==0:
dp[i][j] =1
else:
sum_val =0
if i >0:
sum_val += dp[i-1][j]
if j >0:
sum_val += dp[i][j-1]
dp[i][j] = sum_val
print(dp[n][m])
现在，测试样例输入：
输入：
6 6 3 3
预期输出6。运行代码是否能得到正确结果？
需要手动模拟一下。例如，被控制的点包括：
马的位置是(3,3)，所以生成的点是：
(3,3)
(4,5)
(5,4)
(5,2)
(4,1)
(2,1)
(1,2)
(1,4)
(2,5)
现在，棋盘是0到6行，0到6列。
计算每个点的路径数。
例如，当i=0，j=0到6：
除了被控制的点外，其他点路径数累积。例如，如果起点(0,0)不在控制点，则初始化为1。然后，j=1到6：
对于每个j，如果(0,j)不在控制点，则dp[0][j] = dp[0][j-1]，否则0。
同样，i=1到6，j=0到6。
可能，当遍历到某个被控制的点时，该点的dp值设为0，从而后面的点无法从这里经过。
这样，最终在(6,6)的位置得到6。
因此，这个代码应该可以正确处理样例输入。
现在，用户提供的引用中有提到如何用Python解决这个问题。例如，引用3和4讨论了动态规划的方法，这与我们的思路一致。所以，可以确认该方法是正确的。
另外，需要处理一些特殊情况，比如当起点或终点被控制时，直接输出0。例如，如果输入的n=0，m=0，则只有起点，如果被控制则输出0，否则1。
此外，还需要考虑马的位置是否可能在棋盘之外？根据题目描述，马的位置是输入的，但题目可能保证其在棋盘范围内。所以，代码可能不需要处理这种情况。
综上所述，代码应该可以正确解决问题。现在，将代码和解释整合到回答中，并生成相关问题。</think>### Python实现NOIP 2002普及组过河卒问题解法
#### 问题分析
过河卒问题要求计算从棋盘左上角$(0,0)$到右下角$(n,m)$的路径总数，其中马控制的点（包含自身及周围8个位置）不可通行，且卒只能向右或向下移动[^5]。核心思路是使用动态规划（DP），状态转移方程为：
$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$
其中$dp[i][j]$表示到达点$(i,j)$的路径数[^4]。
#### 代码实现
```python
n, m, x, y = map(int, input().split())
# 生成马控制的坐标点
control_points = set()
dx = [0, 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1]
dy = [0, 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2]
for k in range(9):
nx = x + dx[k]
ny = y + dy[k]
control_points.add((nx, ny))
# 初始化DP数组
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1 if (0, 0) not in control_points else 0
# 动态规划计算路径数
for i in range(n + 1):
for j in range(m + 1):
if (i, j) in control_points:
dp[i][j] = 0
continue
if i == 0 and j == 0:
continue
sum_val = 0
if i > 0:
sum_val += dp[i - 1][j]
if j > 0:
sum_val += dp[i][j - 1]
dp[i][j] = sum_val
print(dp[n][m])
```
#### 实现说明
1. **控制点标记**：通过马的坐标生成所有受控点，使用集合存储确保快速查找[^3]。
2. **边界处理**：第一行和第一列单独处理，避免数组越界。
3. **状态转移**：每个点的路径数由左侧和上方的路径数之和决定，受控点直接置0。
#### 测试示例
输入：`6 6 3 3`
输出：`6`
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