约瑟夫环-递归分析数学解法(详细分析)-C/C++系列

SITUATION-约瑟夫环问题描述

已知n个人围成一圈(编号:1,2,3,…,n),从编号为1的人开始报数,报数为m的那个人出列;从他的下一个人又从1开始数,同样报数为m的人出列;依此循环下去,直到剩余一个人。求最后这一个人在最开始的序列中编号是几号?

ACTION-递归求解分析

将这n个人从0~n-1编号(1是习惯从0开始;2是如果m大于等于n时,第一个出列的人编号是m%nm%n可能等于0,简化后续序列的模式化处理),则报数为m-1的人出列,最后结果加1就为原问题的解,以下,我们来分析出列的过程:

  • 第一次出列-n阶约瑟夫环的问题(n个人)
    0,1,2,3,4,5,…,n-2,n-1
    第一次出列的人的编号为**(m-1)%n1**(记n1为第一次编号的总人数),从他的下一个人又开始从0开始报数,为了方便我们记k1=m%n1,如下:
    0,1,2,3,4,5,…,k1-1(第一次出列人的编号(m-1)%n1),k1,k1+1,…,n-2,n-1

    由于第二次出列是是从k1开始,又从0开始报数,为了便于模式化我们将第一次出列后的序列排序如下:
    k1,k1+1,k1+2,…,n-2,n-1,0,1,2,3,4,5,…,k1-3,k1-2(k1-1第一次已经出列)

  • 第二次出列-n-1阶约瑟夫环问题(n-1个人)
    对上述序列重新编号:
    0,1

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