约瑟夫环-递归分析数学解法(详细分析)-C/C++系列

SITUATION-约瑟夫环问题描述

已知n个人围成一圈（编号：1，2，3，…，n），从编号为1的人开始报数，报数为m的那个人出列；从他的下一个人又从1开始数，同样报数为m的人出列；依此循环下去，直到剩余一个人。求最后这一个人在最开始的序列中编号是几号？

ACTION-递归求解分析

将这n个人从0~n-1编号（1是习惯从0开始；2是如果m大于等于n时，第一个出列的人编号是m%n，m%n可能等于0，简化后续序列的模式化处理），则报数为m-1的人出列，最后结果加1就为原问题的解，以下，我们来分析出列的过程：

• 第一次出列-n阶约瑟夫环的问题（n个人）
  0，1，2，3，4，5，…，n-2，n-1
  第一次出列的人的编号为**(m-1)%n1**（记n1为第一次编号的总人数），从他的下一个人又开始从0开始报数，为了方便我们记k1=m%n1，如下：
  0，1，2，3，4，5，…，k1-1(第一次出列人的编号(m-1)%n1)，k1，k1+1，…，n-2，n-1

  由于第二次出列是是从k1开始，又从0开始报数，为了便于模式化我们将第一次出列后的序列排序如下：
  k1，k1+1，k1+2，…，n-2，n-1，0，1，2，3，4，5，…，k1-3，k1-2（k1-1第一次已经出列）

• 第二次出列-n-1阶约瑟夫环问题（n-1个人）
  对上述序列重新编号：
  0，1