[每日一题]145：有序数组中的单一元素

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题目描述

给你一个仅由整数组成的有序数组，其中每个元素都会出现两次，唯有一个数只会出现一次。

请你找出并返回只出现一次的那个数。

你设计的解决方案必须满足 $O(logn)$ 时间复杂度和 $O(1)$ 空间复杂度。

示例 1:

输入: nums = [1,1,2,3,3,4,4,8,8]
输出: 2

示例 2:

输入: nums =  [3,3,7,7,10,11,11]
输出: 10

提示:

• 1 <= nums.length <= 105
• 0 <= nums[i] <= 105

题解思路

方法：二分查找

假设只出现一次的元素位于下标 x，由于其余每个元素都出现两次，因此下标 x 的左边和右边都有偶数个元素，数组的长度是奇数。

由于数组是有序的，因此数组中相同的元素一定相邻。对于下标 x 左边的下标 y，如果 nums[y]=nums[y+1]，则 y 一定是偶数；对于下标 x 右边的下标 z，如果 nums[z]=nums[z+1]，则 z 一定是奇数。由于下标 x 是相同元素的开始下标的奇偶性的分界，因此可以使用二分查找的方法寻找下标 x。

初始时，二分查找的左边界是 0，右边界是数组的最大下标。每次取左右边界的平均值 mid 作为待判断的下标，根据 mid 的奇偶性决定和左边或右边的相邻元素比较：

如果 mid 是偶数，则比较 nums[mid] 和 nums[mid+1] 是否相等；

如果 mid 是奇数，则比较nums[mid−1] 和 nums[mid] 是否相等。

如果上述比较相邻元素的结果是相等，则 mid<x，调整左边界，否则 mid≥x，调整右边界。调整边界之后继续二分查找，直到确定下标 x 的值。

得到下标 x 的值之后，nums[x] 即为只出现一次的元素。

细节

利用按位异或的性质，可以得到 mid 和相邻的数之间的如下关系，其中 ⊕ 是按位异或运算符：

• 当 mid 是偶数时，mid+1=mid⊕1；
• 当 mid 是奇数时，mid−1=mid⊕1。

因此在二分查找的过程中，不需要判断mid 的奇偶性，mid 和 mid⊕1 即为每次需要比较元素的两个下标。

代码如下：

class Solution {
public:
    int singleNonDuplicate(vector<int>& nums) {
        int low = 0, high = nums.size() - 1;

        while (low < high) {
            int mid = (high - low)/2 + low;
            if (nums[mid] == nums[mid ^ 1]) {
                low = mid + 1;
            }
            else {
                high = mid;
            }
        }

        return nums[low];
    }
};