Curse of Dimensionality

1 Curse of dimensionality

我们知道，$k$-NN算法是一种非常简单又很有效果的算法，它的核心思想就是局部近似。究其原因，就是因为它可以很好地对条件期望进行近似，一方面它用样本均值代替了期望，另一方面它用给定某个点的邻域代替了该点，结合起来，就是用在邻域内的样本均值，取代了在该点处的条件期望。

但是，在高维问题中，$k$-NN会逐渐变得无效。为什么？还要从高维问题的一些特点说起。

首先，高维空中的样本，分布非常稀疏。假设有一个单位体积的超立方体（hypercube），即每个维度的“边长”都为$1$，它的“体积”也为$1$，而样本在里面均匀分布。如果我们想要取到它一定比例$r$的样本，也即取该超立方体$r$比例的体积，那么，每条边应该取多少的比例范围？很简单，每个边长应取$e_p(r)=r^{1/p}$。如果在$10$维空间中，仅仅想取它$10\%$的体积，就应取每条边的$e_{10}(0.1)=0.80$的长度，也就是对每条边都要取$80\%$的范围。

第二，高维空间中的样本，几乎都分布在“边缘”处。考虑$p$维空间中的$N$个样本，假设它们均匀分布在一个单位球中，球心就在原点，那么，距离原点最近的那个样本，它到原点的“距离”的中位数是多少？令D=min⁡i{∥xi∥}D=\min_i\{\Vert x_i \Vert\}D=mini​{∥xi​∥}为各样本到原点距离的最小值，计算它的累积分布函数
$$\begin{array}{rl}& F(d)\\ =& \mathrm{Pr}(D\le d)\\ =& 1-\mathrm{Pr}(D>d)\\ =& 1-\prod _{i=1}^N\mathrm{Pr}(\Vert x_i\Vert >d)\\ =& 1-\prod _{i=1}^N[1-\mathrm{Pr}(\Vert x_i\Vert \le d)]\\ =& 1-{\left[1-d^p\right]}^N\end{array}$$

想知道距离的中位数，只需让累积分布函数取值$1/2$即可。可以算出，最近距离的中位数$d(N,p)={\left[1-{\left(1/2\right)}^{1/N}\right]}^{1/p}$。比如$p=10$，$N=500$的话，$d(10,500)\approx 0.52$，也就是说，离原点最近的那个点，就已经在一半距离以外了。

第三，在高维中，采样密度与$N^{1/p}$成比例。如果在$1$维时我们采样$100$个点，那么在$10$维时我们需要采样$100^{10}$个点才能维持一样的采样密度。

2 高维问题举例

2.1 高维中的$1$-NN

设定：$N=1000$，$X$为$p$维随机变量，且在$[-1,1{]}^p$上均匀分布，$Y=f(X)=\exp (-8\Vert X{\Vert }^2)$，记训练集为$\mathcal{T}$，我们要用$1$-NN去预测$x_0=0$处的$y_0$。当然，我们已经知道了答案$y_0=f(x_0)=1$。

可以对MSE（mean squared error，均方误差）做分解：
$$\begin{array}{rl}& \text{MSE}(x_0)\\ =& E_{\mathcal{T}}[f(x_0)-{\hat{y}}_0{]}^2\\ =& [f(x_0)-E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0){]}^2+E_{\mathcal{T}}[E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)-{\hat{y}}_0{]}^2\end{array}$$
最后一个等式是因为ET{[f(x0)−ET(y^0)](ET(y^0)−y^0)}=0E_{\mathcal{T}}\{[f(x_0)-E_{\mathcal{T}}(\hat{y}_0)](E_{\mathcal{T}}(\hat{y}_0)-\hat{y}_0)\}=0ET​{[f(x0​)−ET​(y^​0​)](ET​(y^​0​)−y^​0​)}=0。第一部分为bias的平方，第二部分为variance。

在$p=1$时，$1$-NN算法找的最近的点，很可能不会在$0$处，因此必有$E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)<0$，但由于此时$N=1000$比较大，找的点基本上会离$x_0$比较近，因此bias和variance都不会太大。

但在高维时，问题就开始出现了。比如$p=10$，那么如上文所说，到原点的最短距离会大大增加：有$99\%$以上的样本，到$x_0=0$的最近距离会大于$0.5$。因此预测的${\hat{y}}_0$有很高的概率接近于$0$，bias会非常大，就算variance很小，也会导致MSE接近于$1$了。

有时候不一定是bias过多影响了MSE，比如真正的函数关系只与其中几个维度有关的话，如$f(X)=(X_1+1{)}^3/2$，此时，bias不会太大，在MSE中是variance起了决定性作用。

2.2 高维中的LS

设定：真实的变量关系为$y=X\beta +ϵ$，其中$ϵ\sim N(0,{\sigma }^2{I}_N)$且与$X$无关，我们还是要估计$x_0$处的$y_0$。

首先利用最小二乘法，我们有$\hat{\beta }=(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }y=\beta +(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ$，${\hat{y}}_0=x_0^{\prime }\hat{\beta }=x_0^{\prime }\beta +x_0^{\prime }(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ$，在这里，我们关注在$x_0$处的expected (squared) prediction error（期望预测误差）$\text{EPE}(x_0)=E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}(y_0-{\hat{y}}_0{)}^2$。

与2.1节中的情况相比，这里多了一个扰动项$ϵ$，我们将$y_0-{\hat{y}}_0$拆解为两部分：
$$y_0-{\hat{y}}_0=(y_0-x_0^{\prime }\beta )+(x_0^{\prime }\beta -{\hat{y}}_0)$$

由简单的计算，可将第一项的平方项化为$E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}(y_0-x_0^{\prime }\beta {)}^2={\sigma }^2$，将第二项的平方项化为
$$E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}(x_0^{\prime }\beta -{\hat{y}}_0{)}^2=[x_0^{\prime }\beta -E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0){]}^2+E_{\mathcal{T}}[E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)-{\hat{y}}_0{]}^2$$
并且，由于$E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)=x_0^{\prime }\beta +x_0^{\prime }{E}_{\mathcal{T}}[(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ]$，再利用$E_{\mathcal{T}}[(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ]=E_{\mathcal{X}}{E}_{\mathcal{Y}|\mathcal{X}}[(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ]=E_{\mathcal{X}}\left[(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }{E}_{\mathcal{Y}|\mathcal{X}}(ϵ)\right]=0$，可知$E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)=x_0^{\prime }\beta$，上式第一项即bias的平方为$0$，最终只剩variance，并可进一步化为
$$\begin{array}{rl}& E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}(x_0^{\prime }\beta -{\hat{y}}_0{)}^2\\ =& E_{\mathcal{T}}[E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)-{\hat{y}}_0{]}^2\\ =& E_{\mathcal{T}}[x_0^{\prime }(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }ϵ{ϵ}^{\prime }X(X^{\prime }X{)}^{-1}{x}_0]\\ =& x_0^{\prime }{E}_{\mathcal{X}}\left[(X^{\prime }X{)}^{-1}{X}^{\prime }[E_{\mathcal{Y}|\mathcal{X}}(ϵ{ϵ}^{\prime })]X(X^{\prime }X{)}^{-1}\right]x_0\\ =& x_0^{\prime }{E}_{\mathcal{X}}\left[(X^{\prime }X{)}^{-1}\right]x_0{\sigma }^2\end{array}$$

最后，再次利用$E_{\mathcal{T}}({\hat{y}}_0)=x_0^{\prime }\beta$，交叉项为
$$\begin{array}{rl}& 2E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}[(y_0-x_0^{\prime }\beta )(x_0^{\prime }\beta -{\hat{y}}_0)]\\ =& 2E_{y_0|x_0}\left[(y_0-x_0^{\prime }\beta )E_{\mathcal{T}}(x_0^{\prime }\beta -{\hat{y}}_0)\right]\\ =& 0\end{array}$$

汇总以上3个结果，有：
$$\text{EPE}(x_0)=E_{y_0|x_0}{E}_{\mathcal{T}}(y_0-{\hat{y}}_0{)}^2={\sigma }^2+x_0^{\prime }{E}_{\mathcal{X}}\left[(X^{\prime }X{)}^{-1}\right]x_0{\sigma }^2$$

若$\mathcal{T}$为随机抽取的样本，假定$E(x)=0$，当$N\to \infty$时，$X^{\prime }X\to N\text{Cov}(x)$，再对于所有$x_0$取期望，有
$$\begin{array}{rl}& E_{x_0}\text{EPE}(x_0)\\ \sim & {\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{N}{E}_{x_0}[x_0^{\prime }\text{Cov}(x{)}^{-1}{x}_0]\\ =& {\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{N}\text{tr}\left[\text{Cov}(x{)}^{-1}{E}_{x_0}(x_0{x}_0^{\prime })\right]\\ =& {\sigma }^2+\frac{{\sigma }^2}{N}\text{tr}(I_p)\\ =& {\sigma }^2+\frac{p}{N}{\sigma }^2\end{array}$$

可以看出，EPE会随着$p$的增加而增加。

参考文献

• Friedman, Jerome, Trevor Hastie, and Robert Tibshirani. The elements of statistical learning. Vol. 1. No. 10. New York: Springer series in statistics, 2001.