二分图匹配及多目标追踪SORT

匹配

将需要配对的两种对象分别作为 X、Y，匹配常如资源匹配和工作安排等，求配对关系或者给顶点和边赋权，求某种条件下的最优分配问题。可以用而二分图来解决匹配的问题。

二分图

二分图又称作偶图，是图论中一个特殊的模型。设 G =（V，E）是一无向图，若顶点 V 可以分割为两个互不相交的子集 A 和 B 且图中每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集，则称 G 是一个二分图。其充要条件是：图 G 中至少存在两个点，且图中所有回路的长度均为偶数。简单来说，就是顶点集 V 可分割为两个互不相交的子集，且图中每条边依附的两个顶点都分别属于这两个互不相交的子集，且两个子集内的顶点不相邻。当图中的顶点分为两个集合，使得第一个集合中的所有顶点都与第二个集合中的所有顶点相连时，此时是一特殊的二分图，称为完全二分图。

二分图匹配

如果 E 的子集 M 中任意两条边都没有公共端点，则 M 称为一个匹配。边数最多的匹配称为最大匹配，如果 X 中顶点全都出现在 M 中，则称为 X-完全匹配。若个匹配 M 既是 X-完全匹配 又是 Y-完全匹配，则称 M 是完全匹配。对最大匹配和完全匹配的寻找和判定，有广泛的应用背景。

如工作安排问题：课程和教师的一一安排。可抽象为一个二分图 G = ，其中 U 是教师的集合，V是课程的集合，E 中的边 表示某位教师 U 可以上课程 V。求最大匹配，即使得每门课都有老师教，有学生上。最大匹配可用匈牙利算法。

匈牙利算法

1. 任取一个匹配 M（可以是空集或者只有一条边）。
2. 令 S 是尚未匹配的点（非饱和点）的集合。
3. 若 S 为空，则 M 已是最大匹配，算法结束。否则执行第四步。
4. 从 S 中取出一个非饱和点 u 作为起点，从起点开始走交错路 P（即接下来走的路径一条在匹配 M 中一条不在匹配 M 中，交替走两种类型的路径）。
5. 如果 P 的终点也是非饱和点（即 P 是一个增广路），则令 M 与 P 异或并赋值给 M，回到第三步。
6. 如果此时 P 都不是增广路，则将点 u 从 S 中去掉，再执行第三步。 

上面的教师课程问题：u1 ~ u6 为教师，v1 ~ v6 为课程。

• 当前的匹配 M1 为 {（u2，v6）,（u3，v1）}，未匹配的点集 S1 为{u1，u4，u5，u6}。选择 u1 作为起点。选出增广路 P1 为{（u1，v1）,（v1，u3）,（u3，v3）}，如下图：

将 M1 与 P1 异或，得到 M2 为{（u1，v1）,（u2，v6）,（u3，v3）}，此时未匹配的点集 S2 为{u4，u5，u6}。

• 选择 u4 作为起点，选出增广路 P2 为{（u4，v2）}。再将 P2 与 M2 异或，得到 M3 为{（u1，v1）,（u2，v6）,（u3，v3）,（u4，v2）}，此时未匹配的点集 S3 为{u5，u6}。

• 选择 u5 为起点，选出增广路 P3 为{（u5，v3）,（v3，u3）,（u3，v1）,（v1，u1）,（u1，v4）}。将 P3 与 M3 异或，得到 M4 为{（u5，v3）,（u2，v6）,（u3，v1）,（u1，v4）,（u4，v2）} ，此时未匹配的点集 S4 为{u6}。

• 选 u6 为起点，选出增广路 P4 为{（u6，v1）,（v1，u3）,（u3，v3）,（v3，u5）,（u5，v5）}。将 P4 与 M4 异或，得到 M5 为{（u5，v5）,（u2，v6）,（u1，v4）,（u4，v2）,（u3，v3）,（u6，v1）} 。即得到一个最大匹配，也是一个完全匹配。

多目标追踪算法SORT