【DP + 卖股票】LeetCode 123. Best Time to Buy and Sell Stock III

LeetCode 123. Best Time to Buy and Sell Stock III

Solution1:
不得不让人感叹算法之精妙啊！！！
参考网址：[1]http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4281975.html
[2]https://blog.youkuaiyun.com/linhuanmars/article/details/23236995
我们先解释最多可以进行$k$次交易的算法。我们还是使用“局部最优和全局最优解法”。我们维护两种量，一个是当前到达第$i$天可以最多进行$j$次交易，最好的利润是多少$(global[i][j])$，另一个是当前到达第$i$天，最多可进行$j$次交易，并且最后一次交易在当天卖出的最好的利润是多少$(local[i][j])$。下面我们来看递推式，全局的比较简单:

$$global[i][j] = max(local[i][j], global[i - 1][j])$$
也就是取当前局部最好的，和过往全局最好的中大的那个（因为最后一次交易如果包含当前天一定在局部最好的里面，否则一定在过往全局最优的里面）。
对于局部变量的维护，递推式是
$$local[i][j] = max(global[i - 1][j - 1] + max(diff, 0), local[i - 1][j] + diff)$$
也就是看两个量，第一个是全局到 $i-1$天进行 $j-1$次交易，然后加上今天的交易，如果今天是赚钱的话（也就是前面只要 $j-1$次交易，最后一次交易取当前天）；第二个量则是取 $local$第 $i-1$天 $j$次交易，然后加上今天的差值（这里因为 $local[i-1][j]$比如包含第 $i-1$天卖出的交易，所以现在变成第 $i$天卖出，并不会增加交易次数，而且这里无论 $diff$是不是大于 $0$都一定要加上，因为否则就不满足 $local[i][j]$必须在最后一天卖出的条件了）。
上面的算法中对于天数需要一次扫描，而每次要对交易次数进行递推式求解，所以时间复杂度是 $O(n*k)$，如果是最多进行两次交易，那么复杂度还是 $O(n)$。空间上只需要维护当天数据皆可以，所以是 $O(k)$，当 $k=2$，则是 $O(1)$。代码如下：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int> &prices) {
        if (prices.empty()) return 0;
        int n = prices.size(), g[n][3] = {0}, l[n][3] = {0};
        for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
            int diff = prices[i] - prices[i - 1];
            for (int j = 1; j <= 2; ++j) {
                l[i][j] = max(g[i - 1][j - 1] + max(diff, 0), l[i - 1][j] + diff);
                g[i][j] = max(l[i][j], g[i - 1][j]);
            }
        }
        return g[n - 1][2];
    }
};