程序员面试金典——18.12最大和子矩阵

程序员面试金典——18.12最大和子矩阵

Solution1：
参考网址：
[1]https://www.cnblogs.com/GodA/p/5237061.html 思想讲的很清楚~
[2]https://www.nowcoder.com/profile/963612/codeBookDetail?submissionId=15224519
思路：
动态规划
　　我们来分析一下最优子结构，若想找到n个数的最大子段和，那么要找到n-1个数的最大子段和，这就出来了。我们用b[i]来表示a[0]…a[i]的最大子段和，b[i]无非有两种情况：
　　(1)最大子段一直连续到a[i] 　
　　(2)以a[i]为首的新的子段　。
　　由此我们可以得到b[i]的状态转移方程：$b[i]=max\{b[i-1]+a[i],a[i]\}$。最终我们得到的最大子段和为$max\{b[i], 0<=i<n\}$，
这跟最大子矩阵有什么关系呢？当然有关系学啦！二维就是一维的扩展，把二维压扁不就变成一维了吗？
　　我们假设所求N*N的矩阵的最大子矩阵是从i列到j列，q行到p行，如下图所示（假设下标从1开始）
　　a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]
　　a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　······
　　a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　······
　　a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　······
　　a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]
　　最大子矩阵就是对角线为a[q][i]-a[p][j]的子矩阵，如果把最大子矩阵同列的加起来，我们可以得到一个一维数组$\{a[q][i]+······+a[p][i], ······ , a[q][j]+······+a[p][j]\}$ ，现在我们可以看出，这其实就是一个一维数组的最大子段问题。如果把二维数组看成是纵向的一维数组和横向的一维数组，那问题不就迎刃而解了吗？把二维转换成了我们刚刚解决了的问题。

class SubMatrix {
public:
    int sumOfSubMatrix(vector<vector<int> > mat, int n) {
        // write code here
        if(n <= 0) 
            return 0;
        int maxVal = INT_MIN;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            vector<int> temp(mat[i]); //temp是一维行向量
            maxVal = max(maxVal, helper(temp));//先得到第i行的最大和
            for(int j = i + 1; j < n; j++) { //依次循环下面的n-i行，把每行里的n个数加到第i行中
                for(int k = 0; k < n; k++) { //i+1 =< j <= n-1,把第j行中n个数加到第i行中
                    temp[k] += mat[j][k];
                }
                maxVal = max(maxVal, helper(temp));//每当加完1行后就判断1次最大和
            }
        }
        return maxVal;
    }

    //求连续数组最大和，动态规划思想
    int helper(vector<int>& vec) { //求一维数组最大和
        int f = vec[0];
        int result = f;
        for(int i = 1; i < vec.size(); i++) {
            f = max(f+vec[i], vec[i]);
            result = max(result, f);
        }
        return result;
    }
};

PS：一道很不错的动态规划题，理解他着实费了点功夫