多元函数的泰勒展开式

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#矩阵 #多元函数 #泰勒展开式 #多元函数泰勒展开式

多元函数的泰勒展开式

      本博客整理自：http://blog.youkuaiyun.com/red_stone1/article/details/70260070。并在一些地方做出修改。

      实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化，通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。

      

      把泰勒展开式写成矩阵的形式：


      其中：



多元函数的泰勒展开Talor以及黑塞矩阵
风信子的猫Redamancy的快乐星球
04-27 1万+
一元函数在点xkx_kxk​处的泰勒展开 f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+onf(x) = f(x_k)+(x-x_k)f'(x_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''(x_k)+o^nf(x)=f(xk​)+(x−xk​)f′(xk​)+2!1​(x−xk​)2f′′(xk​)+on 二元函数在(xk,yk)(x_k,y_k)(xk​,yk​)处的泰勒展开 f(x,y)=f(xk,yk)+(x−xk)fx′(xk,yk)+(y−y..
多元函数的泰勒(Taylor)展开式
Jensen Lee的博客
09-17 4万+
实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化，通常将目标函数在某点附近展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 转载自：https://blog.youkuaiyun.com/red_stone1/article/details/70260070...
泰勒展开式 | 推导 / 应用
最新发布
u013669912的博客
08-26 2665
……
多元函数的泰勒展开
发狂的小花的博客
11-17 1656
多元函数的泰勒展开
多元函数的泰勒展开式公式推导
waihekor的博客
03-18 9668
前言 最优化问题中总会遇到多元函数的泰勒展开公式，没有推导过总是感觉很抽象，参考如下链接，文章讲得很清晰。 多元函数的泰勒(Taylor)展开式 推导过程 一元函数在点 Xk\mathcal{X}_{k}Xk​处的泰勒展开式为： f(x)=f(xk)+(x−xk)f′(xk)+12!(x−xk)2f′′(xk)+onf(x)=f\left(x_{k}\right)+\left(x-x_{k}\r...
多元统计分析——泰勒展开式
huangguohui_123的博客
07-09 4229
一、理解泰勒公式的由来及意义——一元函数的展开式 问题：一个简单的三角函数，现在要求当时的函数值。如果不借助计算机，要怎么求这个值呢? 泰勒的思路是：用多项式函数去近似拟合三角函数。 在回归分析中，我们以多项式函数拟合数据集，多项式的“项”越多，对数据集的拟合程度越好，如下图。 于是这个问题就转换为求解一个多项式函数（“项”的个数越多拟合越好，可以无穷大），让这个多项式函数无限地和三角函数或者其他我们需要的函数等价。 推导过程如下： 我们定义，我们塑造一个多项式函数：，其中为误...
多元函数中的泰勒公式的表达
MobtgZhang的博客
07-19 6552
多元函数中的泰勒公式的表达一元函数的泰勒公式二元函数的泰勒公式多元函数中的泰勒公式 多元函数中最优化问题的目标函数往往是一个复杂的函数，简化问题的时候，通常表达为在某一点的泰勒展开的表达式。与一元函数类似，多元函数中的泰勒公式在应用问题上也具有着举足轻重的作用。 基本思想 不论是多元函数也好，还是一元函数也好，最基本的泰勒公式的展开式基本思想是用多项式函数逼近函数本身。 一元函数的泰勒公式 设函数f(x)f(x)f(x)在点x0x_{0}x0​处的邻域内有n+1n+1n+1阶导数，那么就会有泰勒展开式 f(
多元函数带Peano余项的Taylor公式的推广（无参考资料）
11-29
多元函数带Peano余项的Taylor公式的推广（无参考资料）pdf 自己写的推论，没有类似的资料。
常见函数的泰勒展开
01-06
常见函数的泰勒展开。使用的时候可以选取前几个展开项并搭配拉格朗日余项进行使用
多元函数的泰勒展开（Taylor series expansion）
少年一贯快马扬帆，道阻且长不转弯； 要盛大，要绚烂，要哗然； 要用理想的泰坦尼克，去撞现实的冰川； 要当烧赤壁的风，而非借鉴草船； 要为了一片海，就肯翻万山。
05-27 2964
多元函数的泰勒展开（Taylor series expansion） 实际优化问题的目标函数往往比较复杂。为了使问题简化，通常将目标函数在某点附近()展开为泰勒(Taylor)多项式来逼近原函数。 ①一元函数在点处的泰勒展开式为： ②二元函数在点处的泰勒展开式为： ...
多元函数泰勒级数展开_多元函数的泰勒级数
weixin_34297863的博客
02-11 5033
一元函数的泰勒公式或者可以写成：二元函数的泰勒级数对 二元函数 f(x, y), 考虑在点 (a, b) 附近方向 (u, v) 有微小增量 f(a + tu, b + tv)， 定义函数：此时 是对 t 的单变量函数，利用上面的 一元函数的泰勒公式, 把 在 t = 0 处展开：取 t = 1:明显：根据链式法则：有:所以 . 再次运用 链式法则 求导：所以 ， 可以继续求得更高阶的导数...
多元函数的泰勒展开公式
Jie Qiao的专栏
07-04 5万+
泰勒定理 泰勒展开是一个很有趣的方法。应该大部分人都看过下面这么一条定理： 泰勒定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上存在直至n阶的连续导函数,在开区间（a,b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x,x0∈[a,b]x,x0∈[a,b]x,x_0\in [a,b]，至少存在一点ξ∈(a,b)ξ∈(a,b)\xi \in (a,b)，使得 f(x)=+f(x0)+f ′(x...
【高等数学】多元函数f(x,y...)的泰勒(Taylor)展开式
Feeryman_Lee的博客
11-24 2万+
一元函数在点xk处的泰勒展开式为： 二元函数在点（xk,yk）处的泰勒展开式为： 多元函数在点（xk,yk）处的泰勒展开式为： 把Taylor展开式写成矩阵的形式： 其中： ...
泰勒公式的详细推导
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weixin_40100502的博客
06-01 21万+
                                                           在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。（其实就是用多项式函数去...
二项式定理与多变量函数的泰勒展开_拔剑-浆糊的传说_新浪博客
拔剑—浆糊的传说
07-09 2063
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年期间提出。 多元函数的泰勒展开：
多元函数泰勒展开
03-08
### 多元函数泰勒展开的概念 对于多元函数 \( f(x, y) \)，如果该函数及其偏导数在某一点附近连续，则可以在这一点处进行泰勒展开。泰勒展开提供了一种方法，通过多项式来近似复杂函数的行为。 #### 一阶泰勒展开 在一阶情况下，给定点 \( (a,b) \)，函数 \( f(x,y) \) 可以表示为： \[ f(a+h, b+k) ≈ f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k \] 这里 \( h=x-a,k=y-b \)[^1]。 #### 二阶泰勒展开 当考虑更高精度时，引入二次项得到更精确的结果: \[ f(a+h, b+k) ≈ f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k+\frac{1}{2}[f_{xx}(a,b)h^{2}+2f_{xy}(a,b)hk+f_{yy}(b,k)] \]。 其中下标代表对应变量的一阶或混合二阶偏导数值。 #### 泛化形式 一般而言，\( n \)-维空间中的向量值函数 \( F(\mathbf{x})=F(x_1,x_2,\ldots ,x_n)\) 在点 \( a=(a_1,a_2,...,a_n)^T\) 的邻域内可写成如下形式： \[ F(\mathbf {a} +\Delta \mathbf {x} )=\sum _{|r|=0}^{m}\left({\frac {\partial ^{r}}{\partial x_{1}^{r_{1}}...\partial x_{n}^{r_{n}}}}F(\mathbf {a} )/{r!}\right)(\Delta x_{1})^{r_{1}}...(\Delta x_{n})^{r_{n}} \] 这里的 \( r=(r_1,r_2,…,r_n), |r|=\sum_i^n ri \) 并且 \( Δxi=xi−ai \). 当 \( m→∞ \) 并且余项趋于零的时候上述表达即成为完整的泰勒级数。 ```python import sympy as sp def taylor_expansion(f, variables, point, order): from itertools import product # 计算各阶导数并构建泰勒展开式 expansion = 0 for i in range(order + 1): terms = [] indices = list(product(range(i + 1), repeat=len(variables))) for idx in indices: if sum(idx) == i: term = sp.diff(f, *zip(variables, idx)) coefficient = term.subs(dict(zip(variables, point))) / sp.factorial(sum(idx)) powers = ''.join([f'*(v-{p})**{exp}' for v, exp, p in zip(variables, idx, point)]) terms.append(coefficient*powers) expansion += sum(terms) return expansion.expand() # 定义符号和函数 x, y = sp.symbols('x y') func = sp.sin(x)*sp.exp(y) # 展开至二阶 point = [0, 0] order = 2 result = taylor_expansion(func, [x, y], point, order) print(result) ```
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