多元函数中的泰勒公式的表达

多元函数中最优化问题的目标函数往往是一个复杂的函数，简化问题的时候，通常表达为在某一点的泰勒展开的表达式。与一元函数类似，多元函数中的泰勒公式在应用问题上也具有着举足轻重的作用。
基本思想 不论是多元函数也好，还是一元函数也好，最基本的泰勒公式的展开式基本思想是用多项式函数逼近函数本身。

一元函数的泰勒公式

设函数$f(x)$在点$x_0$处的邻域内有$n+1$阶导数，那么就会有泰勒展开式
$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{\prime \prime }(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+R_n$$

或者表示为
$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+R_n$$

其中$R_n$被称为余项
$$R_n=\frac{1}{(n+1)!}{f}^{(n+1)}(\xi )(x-x_0{)}^{n+1},\xi \in (x,x_0)$$

一般地，拉格朗日余项中$\xi =x_0+\theta \Delta x,\Delta x=x-x_0,0<\theta <1$。

二元函数的泰勒公式

二元函数的泰勒公式是一元函数的推广。设$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的邻域内含有$n+1$阶的可微函数，那么在$(x_0,y_0)$处的泰勒展开式表示为
$$f(x,y)=f(x_0,y$$