2.算法复杂度度量

复杂度度量

        1.时间复杂度

        特定算法处理规模为n的问题所需要的时间可记作T(n)，严格来说这个定义并不明确。为此需要做进一步简化，即从保守估计的角度出发，在规模为n的所有输入中选择执行时间最长者作为T(n),并以T(n)度量该算法的时间复杂度。

        2.渐进复杂度

        着重长远、更为注重时间复杂度的总体变化趋势和增长速度的策略与方法，即所谓的渐进分析（asymptotic analysis）。那么，针对足够大的输入规模n，算法执行时间T(n)的渐进增长速度应该如何评价和度量？引入以下几个符号。

        2.1大O记号（big-O）

        出于保守估计，我们首先关注T(n)的渐进上届。为此可引入所谓“大O记号”（big-O）。具体地，若存在正的常数c和函数f(n)，使得对任何n>>2都有

        

则可认为在n足够大之后，f(n)给出了T(n)增长速度的一个渐进上界。此时记之为：

        

        由这一定义，可以导出大O记号的以下性质：

        (1)对于任一常数c>0，有

        (2)对于任意常数a>b>0，有

        “最坏情况复杂度”是人们关注且使用最多的。

        2.2大Ω记号（big-Omega）

        为了对算法的最好情况做出估计，需要借助另一个符号。如果存在正的常数c和函数g(n)，使得对于任何n>>2都有

        

        就可以认为，在n足够大之后，g(n)给出了T(n)的一个渐进下届。此时我们记之为：

        

        这里的Ω称作“大Ω记号”。与大O记号恰恰相反，大Ω记号是对算法执行效率的乐观估计——对于规模为n的任意输入，算法的运行时间都不低于Ω(g(n))。比如在最好的情况下，起泡排序也至少需要T(n)=Ω(n)的计算时间。

        2.2大Θ记号（big-Theta）

        借助大O记号和大Ω记号可以对算法的时间复杂度做出定量的界定，亦即，从渐进的趋势看，T(n)界于Ω(g(n))和O(f(n))之间。恰巧出现g(n)=f(n)的情况，可以使用另一记号来表示。

        如果存在正的常数c1<c2和函数h(n)，使得对于任何n>>2都有

        

        就可以认为在n足够大之后，h(n)给出了T(n)的一个确界。此时，我们记之为：

        T(n)=Θ(h(n))

        这里的Θ称作“大Θ记号”，它是对算法复杂度的准确估计——对于规模为n的任何输入，算法的运行时间T(n)都与Θ(h(n))同阶。