【JZOJ】1900【2010集训队出题】矩阵（最大权闭合子图，最小割，优化）

Link

https://jzoj.net/senior/#main/show/1900

Preface

菜哭，菜的可怜，菜的真实。

Problem

类似NOI2006最大获利

Solution

朴素的做法是这样的：

答案可以写成$$\sum _{i,j}{a}_i{a}_j{b}_{i,j}-\sum _i{a}_i{c}_i$$

先考虑把所有的${\sum }_{i,j}{b}_{i,j}$加上，然后现在考虑构一个最小割图。

左边一排点，向源点连$c_i$的边权，表示如果割了则$a_i=1$，右边一排点，表示$(i,j)$，向汇点连边权为$b_{i,j}$，注意到，如果某个$a_i=0|a_j=0$，则$b_{i,j}$要被减去，否则$c_i,c_j$都被减去。

正好符合我们想要的割图。

优化是这样的：

不把一条边当作一个点，而是把一些边当作一个点。

那么，$i$与源点连${\sum }_j{b}_{i,j}$，表示如果你$a_i=0$，则这些收益没有了。注意到我们还要减去${\sum }_j{b}_{j,i}$，所以我们要对于每个点$j$，向$i$连一条$b_{j,i}$的边，表示要把这些给割掉。当然，我们要把$i$向汇点连$c_i$表示$a_i=1$时你要付出的代价。

于是就是这样了。

Code

#include <bits/stdc++.h>

#define F(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i ++)

const int M = 2e6;
const int N = 1e3 + 10;
const int inf = 2e9;

using namespace std;

int n, Ans, S, T, b[N][N], c[N], w[N], gap[N], dis[N], D[N];
int tov[M], nex[M], las[N], cur[N], len[M], tot;

void link(int x, int y, int c) {
	tov[++ tot] = y, nex[tot] = las[x], las[x] = tot, len[tot] = c;
	tov[++ tot] = x, nex[tot] = las[y], las[y] = tot, len[tot] = 0;
}

int dfs(int k, int flow) {
	if (k == T)
		return flow;
	int have = 0;
	for (int x = cur[k]; x ; x = nex[x]) {
		cur[k] = x;
		if (len[x] && dis[tov[x]] + 1 == dis[k]) {
			D[++ D[0]] = tov[x];
			int now = dfs(tov[x], min(flow - have, len[x]));
			D[D[0] --] = 0;
			len[x] -= now, len[x ^ 1] += now, have += now;
			if (flow == have)
				return have;
		}
	}
	cur[k] = las[k];
	if (!(-- gap[dis[k]])) dis[S] = T + 1;
	++ gap[++ dis[k]];
	return have;
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	F(i, 1, n)
		F(j, 1, n)
			scanf("%d", &b[i][j]), Ans += b[i][j], w[i] += b[i][j];
	F(i, 1, n)
		scanf("%d", &c[i]);

	S = 0, T = n + 1, tot = 1;
	F(i, 1, n)
		link(S, i, w[i]), link(i, T, c[i]);
	F(i, 1, n)
		F(j, 1, n)
			if (i ^ j)
				link(j, i, b[j][i]);

	gap[0] = T + 1;
	while (dis[S] < T + 1)
		Ans -= dfs(S, inf);

	printf("%d\n", Ans);
}