[jzoj]5957. 【NOIP2018模拟11.7A组】scarborough fair（期望计数）

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概率-期望

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探讨了在给定无向图中，每条边有特定联通概率的情况下，如何计算图的期望联通块个数。通过逆向思考，计算每个联通块不连通的概率，并利用递归公式进行枚举计算，最终得出整个图的期望联通块数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Problem

给定一个 $(n, m)$ 的无向图，其中第 $i$ 条边联通的概率是 $W_i$ ，求这个无向图的期望联通块个数。
$n≤17,m≤n∗(n−1)2n\le 17, m\le \frac{n*(n-1)}{2}$ .

Solution

求期望联通块个数，那肯定得单独考虑每个联通块对答案的贡献，这种套路太常见了.
我们只需计算出一个联通块它联通的概率，再乘上一个联通块（等价于一个点集）不再联通其他点的概率，累加起来就是答案了.
计算前者，我们发现正着做并不好做，所以我们正难则反，考虑这个联通块不连通的概率即可，要计算这个概率，很显然是要枚举最小编号所在的块，这个套路也太常见了，然后计算即可.
这里的时间复杂度是 $O(3^n)$ 的，因为是枚举子集中的子集.
我们把式子列一列，令 $f_i$ 表示 $i$ 这个点集不连通的概率.
那么有 $fi=∑j∈i且j包含i中最后一个1fj∗Pj,i−jf_i=\sum_{j\in i 且 j包含i中最后一个1}f_j * P_{j,i-j}$ $P [i] [j]$ 表示的含义是 $i$ 与 $j$ 这个点集没有边相连的概率。
显然 $Pj,i−j=bet(i)bet(j)⋅bet(i−j)P_{j,i-j}=\frac{bet(i)}{bet(j)·bet(i-j)}$ $b e t (i)$ 则表示 $i$ 这个点集内的点都没有边相连的概率。
最后calc计算答案也是类似的过程.

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>

#define ll long long
#define F(i, a, b) for (ll i = a; i <= b; i ++)

const ll N = 18, M = N * (N - 1) / 2, Mo = 998244353;

ll n, m, u[M], v[M], w[M], vis[N];
ll fa[N], Ans, cnt;

ll get(ll x) {
	return !fa[x] ? x : get(fa[x]);
}

void Dfs(ll k, ll G) {
	if (k > m) {
		memset(vis, 0, sizeof vis), cnt = 0;
		F(i, 1, n)
			if (!vis[get(i)])
				vis[get(i)] = 1, cnt ++;
		Ans = (Ans + cnt * G) % Mo;
		return;
	}
	
	ll t = get(u[k]), tmp = fa[t];
	if (t ^ get(v[k]))
		fa[t] = get(v[k]);
	Dfs(k + 1, (G * (Mo + 1 - w[k])) % Mo);
	fa[t] = tmp;

	Dfs(k + 1, (G * w[k]) % Mo);
}

int main() {
	freopen("fair.in", "r", stdin);
	freopen("fair.out", "w", stdout);

	scanf("%d%d", &n, &m);
	F(i, 1, m)
		scanf("%d%d%d", &u[i], &v[i], &w[i]);

	Dfs(1, 1);

	printf("%d\n", Ans);
}