线性同余式

4、C++源代码

         编写一个程序解线性同余式ax≡c (mod m),为了使得到的所有解都在[0,m-1]范围内，需要简单的修改一下扩展的欧几里得算法，

为了使更简单的处理，要求a,c,m都为正整数，代码如下：

struct Triple
{
    Triple(){}
    explicit Triple(int g, int s, int t)
    :g(g), s(s), t(t)
    {

    }
  int g;     //最大公约数
  int s;	   //a的系数
  int t;	   //b的系数
};

/*
@扩展的欧几里得算法
@输入：正整数a,b
@输出：三元组(g, s, t)使得sa + tb = g, 并且保证s > 0
*/
Triple EuclidEx(int a, int b)
{
    Triple t0(a, 1, 0),
            t1(b, 0, 1),
            t2;
    while (t1.g)
    {
        int q = t0.g / t1.g;
        t2 = Triple(t0.g - q * t1.g,
                     t0.s - q * t1.s,
                     t0.t - q * t1.t);
        t0 = t1;
        t1 = t2;
}
if (t0.s < 0)
{
        t0.s  +=  b;
		t0.t  -=  a;
}
    return t0;
}

/*
@功能：求解线性同余式 ax≡c (mod m)
@前置条件：a, c, m是正整数
@参数：a, c, m
@返回值：pair<vector<int>, bool>
bool变量用于判断线性同余式是否有解，
vector<int>用于存放线性同余式的解集
*/
pair<vector<int>, bool> LinearCongruence(int a, int c, int m)
{
    if ((a < 1) || (c < 1) || (m < 1))
        return make_pair<vector<int>, bool>(vector<int>(), false);

    Triple et = EuclidEx(a, m);
    if (c % et.g != 0)
        return make_pair<vector<int>, bool>(vector<int>(), false);
    int x0 = (c * et.s) / et.g;
    vector<int> vec(et.g);
    for (int k = 0; k < et.g; ++k)
        vec[k] = (x0 + k * m / et.g) % m;

    return make_pair<vector<int>, bool>(vec, true);
}

5、测试

         测试线性同余式893x ≡ 266(mod 2432) 和 943x ≡ 381(mod 2576)驱动程序如下：

int main()
{
    int a, c, m;
    cout<<"please input three positive integer: >";
    cin>>a>>c>>m;
    pair<vector<int>, bool> P = LinearCongruence(a, c, m);
    if (P.second)
    {
        vector<int> vec = P.first;
        cout<<a<<"x ≡ "<<c<<" (mod "<<m<<") 的解一共有"
        <<vec.size()<<"个，分别为："<<endl;
        for (size_t i = 0; i < vec.size(); ++i)
        {
            cout<<vec[i];
            if ((i != 0 && i% 10 == 0)
                        || i == vec.size() - 1)
                cout<<endl;
            else
                cout<<',';
        }
    }
    else
    {
        cout<<a<<"x ≡ "<<c<<" (mod "<<m<<")"<<" 无解！"<<endl;
    }

    return 0;
}

运行结果如下图：