快速幂运算的两种写法以及POJ2109取巧办法

1. 快速幂的递归和非递归

2. 递归(压栈弹栈花费空间更多些)
   我们先来看看递推方程
   1.>a^n = a^(n/2) * a^(n/2) , 当n为偶数时
   2.>a^n=a(n-1)*a , 当n为奇数时
   3>1 , 当n等于0时
   这样最后的程序就很简单了.
3. 非递归
   我们把a^b 中的b写成二进制形式,比如2^10,10的二进制形式为1010,那么 2^10= 2^0 *(2^2) * (2^0) *(2^8)
   我们可以发现这样从小到大依次累加,每次是上一次的两倍,就像一颗树形结构一样,最后它的时间复杂度为O(logn)

#include<iostream>
using namespace std;
 
int pow(int m,int n)
{
	if(n==0)	return 1;
	if(n%2!=0)
	{
		return m*pow(m,n-1)	%MOD;
	}else{
		int temp=pow(m,n/2)%MOD;		//注意这里的temp写的很有必要,如果最后返回的值pow(m,n/2)*pow(m,n/2),相当于没有进行优化,算法退化到o(n)的时间复杂度 
		return temp*temp%MOD;
	}
}

int pow_(int m,n)
{
	if(n==0)	return 1;
	int ans=1;
	while(n)
	{
		if(n&1)
		{
			ans*=a;
		}
		a=a*a;
		n>>=1;
	}
	return ans;
} 

int main()
{ 	
	int res1=pow(2,7);
	int res2=pow(2,8); 
	cout<<res1<<res2;  
	return 0;
}

这里"附赠一道题目",POJ2109,链接:http://poj.org/problem?id=2109
对于这样的a^b=c,且都是大数,已知a,c怎么求得b呢?
我们可以使用数学上的对数运算的方法来求(左边为底数,右边为真数):(loga b)^(-1)=(logb a),最重要的是下面的这个公式:
c ^ (1/a) ?= log a c,想明白这一点,这道题就很简单了,实际上也不简单,呜呜,我想了将近一个小时…这里不一定是等号,实际上是一个向上取整的过程.

#include <math.h>
#include <iostream>
using namespace std;
 
int main(void) {
	double n , p;
	while(cin >> n >> p) {
		double tmp = pow(p, 1 / n);	// p开n次方
		int k = floor(tmp + 0.5);	// 四舍五入（+0.5后向下取整）
		cout << k << endl;
	}
	return 0;
}