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最新推荐文章于 2021-12-20 15:55:51 发布

Akakii

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-----------分治-----------

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本文介绍了一种结合树形动态规划与重心分解算法解决特定类型最优化问题的方法。通过点剖的方式，针对每个连通块选取重心进行多重背包DP，以求解最大价值问题。该方法适用于节点数量不多于500的树状结构。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定一棵 $n$ 个结点的数，每个点有参数 $(w,c,d)$ 表示价值为 $w$ ，代价为 $c$ ，有 $d$ 个物品。初始有 $m$ 元钱。
现在要选出一个连通块使得价值最大。

Data Constraint
$n\leq500$

题解

考虑点剖，每次选择重心就进行多重背包DP。
如果不选择就递归进子树继续考虑。
每次DP的时候是一个树型依赖DP，可以在DFS序上DP，每次选择一个点 $i$ 就转移到 $i+1$ ，否则就转移到 $i+size[i]+1$
注意要按二的幂将物品分组。

SRC

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std ;

#define N 500 + 10
#define M 4000 + 10
const int inf = 0x7FFFFFFF ;
struct Object {
    int w , c , d ;
} P[N] ;

bool vis[N] ;
int Node[2*N] , Next[2*N] , Head[N] , tot ;
int W[20*N] , V[20*N] , st[N] , ed[N] ;
int DFN[N] , S[N] , R[N] , Size[N] , Maxs[N] ;
int f[N][M] , g[M] ;
int T , n , m , q , ans ;
int Root , All , Cnt , Minv ;

void link( int u , int v ) {
    Node[++tot] = v ;
    Next[tot] = Head[u] ;
    Head[u] = tot ;
}

void DP() {
    int Num = 0 ;
    for (int i = 1 ; i <= Cnt ; i ++ ) {
        for (int j = 0 ; j <= m ; j ++ ) f[i][j] = -inf ;
        int now = S[i] ;
        if ( i == 1 ) {
            if ( !P[now].d ) return ;
            for (int k = 1 ; k <= P[now].d ; k ++ ) f[1][k*P[now].c] = k * P[now].w ;
            continue ;
        }
        int x = P[now].d - 1 , k = 1 ;
        st[i] = Num + 1 ;
        while ( x >= k ) {
            ++ Num ;
            W[Num] = P[now].w * k ;
            V[Num] = P[now].c * k ;
            x -= k ;
            k *= 2 ;
        }
        if ( x ) {
            ++ Num ;
            W[Num] = P[now].w * x ;
            V[Num] = P[now].c * x ;
        }
        ed[i] = Num ;
    }
    for (int i = 2 ; i <= Cnt ; i ++ ) {
        for (int j = m ; j >= 0 ; j -- ) {
            if ( j >= P[S[i]].c ) g[j] = f[i-1][j-P[S[i]].c] + P[S[i]].w ;
            else g[j] = -inf ;
        }
        for (int k = st[i] ; k <= ed[i] ; k ++ ) {
            for (int j = m ; j >= V[k] ; j -- ) g[j] = max( g[j] , g[j-V[k]] + W[k] ) ;
        }
        for (int j = 0 ; j <= m ; j ++ ) f[i][j] = max( f[i][j] , g[j] ) ;
        for (int k = 0 ; k <= m ; k ++ ) f[R[S[i]]][k] = max( f[R[S[i]]][k] , f[i-1][k] ) ;
    }
    for (int i = 1 ; i <= Cnt ; i ++ )
        for (int j = 0 ; j <= m ; j ++ ) ans = max( ans , f[i][j] ) ;
}

void GetSize( int x , int F ) {
    Size[x] = Maxs[x] = 1 ;
    for (int p = Head[x] ; p ; p = Next[p] ) {
        if ( Node[p] == F || vis[Node[p]] ) continue ;
        GetSize( Node[p] , x ) ;
        Size[x] += Size[Node[p]] ;
        if ( Size[Node[p]] > Maxs[x] ) Maxs[x] = Size[Node[p]] ;
    }
}

void GetRoot( int x , int F ) {
    Maxs[x] = max( Maxs[x] , Size[All] - Size[x] ) ;
    if ( Maxs[x] < Minv ) Minv = Maxs[x] , Root = x ;
    for (int p = Head[x] ; p ; p = Next[p] ) {
        if ( Node[p] == F || vis[Node[p]] ) continue ;
        GetRoot( Node[p] , x ) ;
    }
}

void DFS( int x , int F ) {
    DFN[x] = R[x] = ++ Cnt ;
    S[Cnt] = x ;
    for (int p = Head[x] ; p ; p = Next[p] ) {
        if ( Node[p] == F || vis[Node[p]] ) continue ;
        DFS( Node[p] , x ) ;
        R[x] = R[Node[p]] ;
    }
}

void DIV( int x ) {
    Minv = 0x7FFFFFFF ;
    Root = All = x ;
    GetSize( x , 0 ) ;
    GetRoot( x , 0 ) ;
    Cnt = 0 ;
    DFS( Root , 0 ) ;
    DP() ;
    vis[Root] = 1 ;
    for (int p = Head[Root] ; p ; p = Next[p] ) {
        if ( vis[Node[p]] ) continue ;
        DIV( Node[p] ) ;
    }
}

int main() {
    freopen( "shopping.in" , "r" , stdin ) ;
    freopen( "shopping.out" , "w" , stdout ) ;
    scanf( "%d" , &T ) ;
    while ( T -- ) {
        tot = ans = 0 ;
        memset( vis , 0 , sizeof(vis) ) ;
        memset( Head , 0 , sizeof(Head) ) ;
        scanf( "%d%d" , &n , &m ) ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf( "%d" , &P[i].w ) ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf( "%d" , &P[i].c ) ;
        for (int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf( "%d" , &P[i].d ) ;
        for (int i = 1 ; i < n ; i ++ ) {
            int u , v ;
            scanf( "%d%d" , &u , &v ) ;
            link( u , v ) , link( v , u ) ;
        }
        DIV( 1 ) ;
        printf( "%d\n" , ans ) ;
    }
    return 0 ;
}

以上.