[复变函数题目怎么做]第八章：拉普拉斯变换

最新推荐文章于 2025-12-19 15:31:04 发布

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#算法

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▽表示为考点内容的主要解题思路

△拉普拉斯变换及其性质

拉普拉斯变换的定义：

对于任意一个函数 $f (t)$ 可以通过

①利用单位阶跃函数 $u (t)$ 将积分区间由 $(- \infty, + \infty)$ 变到 $(0, + \infty)$

②利用指数衰减函数 $e^{-βt}(β>0)$ 使得 $f (t)$ 在积分区域上绝对可积

这样就保证了 $f(t)u(t)e^{-βt}(β>0)$ 可以进行傅里叶变换

对函数 $f(t)u(t)e^{-βt}(β>0)$ 取傅里叶变换，可得

$F[f(t)u(t)e−βt]=∫−∞∞f(t)u(t)e−βte−jwtdt=∫0+∞f(t)e−(β+jw)tdtF[f(t)u(t)e^{-βt}]=\int_{-∞}^{∞}f(t)u(t)e^{-βt}e^{-jwt}dt=\int_{0}^{+∞}f(t)e^{-(β+jw)t}dt$

我们令 $s = β + j w$ 可得 $F[f(t)u(t)e−βt]=∫0+∞f(t)e−stdtF[f(t)u(t)e^{-βt}]=\int_{0}^{+∞}f(t)e^{-st}dt$

可以发现，只要 $β$ 选择合适，通常而言，这个函数的傅里叶变换总是存在的

我们记作
$F(s)=\int_{0}^{+∞}f(t)e^{-st}dt$
那么 $F (s)$ 是由 $F (t)$ 经过一系列新变换得到的，我们称这种变换为拉普拉斯（ $L a pl a ce$ ）变换

记作
$\\ L[f(t)]=\int_{0}^{+∞}f(t)e^{-st}dt$
由以上定义可知， $f (t) (t \geq 0)$ 的拉普拉斯变换本质上就是 $f(t)u(t)e−βt(β>0)f(t)u(t)e^{-βt}(β\gt0)$ 的傅里叶变换

而拉普拉斯逆变换则记作 $f(t)=L^{-1}[F(s)]$

例题1：

求单位阶跃函数 $0,t<01,t>0u(t)=\begin{cases}0,t<0\\1,t>0\end{cases}$ 和 $f(t)=ekt(k∈R)f(t)=e^{kt}(k\in{R})$ 的拉普拉斯变换

根据拉普拉斯变换的定义式可得：

$L[u(t)]=∫0+∞1⋅e−stdt=1−s⋅e−st∣0+∞L[u(t)]=\int_{0}^{+∞}1·e^{-st}dt=\frac{1}{-s}·e^{-st}|_{0}^{+∞}$

得到 $L[u(t)]=1−s⋅0−1−s⋅1=1sL[u(t)]=\frac{1}{-s}·0-\frac{1}{-s}·1=\frac{1}{s}$

$L[f(t)]=∫0+∞ekt⋅e−stdt=∫0+∞e(k−s)tdtL[f(t)]=\int_{0}^{+∞}e^{kt}·e^{-st}dt=\int_{0}^{+∞}e^{(k-s)t}dt$

当 $R e (s) > k$ 时 $e^{(k-s)t}$ 收敛，所以 $∫0+∞e(k−s)tdt=e(k−s)tk−s∣0+∞=1s−k\int_{0}^{+∞}e^{(k-s)t}dt=\frac{e^{(k-s)t}}{k-s}|_{0}^{+∞}=\frac{1}{s-k}$

得到 $L[ekt]=1s−k(Re(s)>k)L[e^{kt}]=\frac{1}{s-k}(Re(s)>k)$

真题1：

函数 $f(t)=1+t+\sin{t}$ 的Laplace变换为？

根据拉普拉斯变换的定义式可得：

$L(1)=∫0+∞1⋅e−stdt=1−se−st∣0+∞=1sL(1)=\int_0^{+\infty}1·e^{-st}dt=\frac{1}{-s}e^{-st}|_0^{+\infty}=\frac{1}{s}$

$L(t)=∫0+∞t⋅e−stdtL(t)=\int_0^{+\infty}t·e^{-st}dt$

此处计算涉及分部积分法，即 $∫udv=uv−∫vdu\int{u}dv=uv-\int{v}du$

我们令 $u=t,dv=e^{-st}dt$

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△拉普拉斯变换及其性质

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