堆排序原理及实现

原理

以升序排序为例(升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。可以分成2步：

（1）将待排序的序列构造成一个大顶堆，这时堆顶就是序列的最大值。

（2）将堆顶元素和末尾元素进行交换，这时最大值就放到了末尾。然后将剩下n-1个元素重新构造成一个堆，这样堆顶就是n个元素的次大值。这样反复执行n-1轮后，序列就排好序了。

 

第1步：将待排序的序列构造成一个堆

思想：从最后一个非叶子节点开始，对于每个非叶子节点，以这个节点为根，自上而下不断调整，使得以它为根的子树成为一个堆。

【那么非叶子节点的范围是多少呢】

答：假设数组有n个元素，则下标为 0 到 n/2-1 的元素是非叶子节点，下标 n/2 到 n-1 的元素是叶子节点。

证明：

方法一：根据完全二叉树的特点，下标为 i 的节点的父节点是 (i-1)/2，那么最后一个节点 n-1 的父节点是 (n-2)/2 = n/2-1，这就是最后一个非叶子节点。

方法二：反证法。假设n/2不是叶子节点，那么它的左节点下标是 2*(n/2)+1 = n+2，超过了数组最大下标n-1，显然不符合逻辑。

 

第2步

思想：将堆顶元素和末尾元素进行交换，这时最大值就放到了末尾。然后将剩下n-1个元素重新构造成一个堆，这样堆顶就是n个元素的次大值。这样反复执行n-1轮后，序列就排好序了。

【怎么将剩下元素重新构造成一个堆】

剩下元素其实已经是“半个堆”了，只需要把堆顶不断向下交换就行了。每次通过比较当前节点和两个子节点的关系来进行交换。对于大顶堆来说，如果父节点比子节点小，就和较大的子节点进行交换。当父节点比两个子节点都大时就不需要交换了。

 

代码实现：

// 以index为堆顶，将堆顶元素向下沉，使得[index,max_index)的所有元素重新构造成堆
void heapify(int* nums, int index, int max_index){
    while(true){
        int maxValueIndex = index;  // 当前节点和左右子节点这三者中最大者的下标
        // 以大顶堆为例,若父节点比子节点小，就与较大的子节点交换
        
        // 若左节点比父节点（大小顶堆用>号）
        if(2*index+1 < max_index && nums[index] < nums[2*index+1])     
            maxValueIndex = 2*index+1;
        
        // 若右节点比左节点和父节点都大（小顶堆用>号）
        if(2*index+2 < max_index && nums[maxValueIndex] < nums[2*index+2]) 
            maxValueIndex  = 2*index+2;

        if(maxValueIndex == index) // 说明当前节点比两个子节点都大，无需再往下迭代了
            break;
        swap(nums[index], nums[maxValueIndex]);
        index = maxValueIndex;
    }
}

void HeapSort(int* nums, int n){
    // 1.将原始数组构造成堆
    for(int i=n/2-1; i>=0; i--)     // 对每个非叶子节点
        heapify(nums, i, n);        // 调整结构使得以它为根的子树成为堆

    // 2.将堆顶移到末尾，并对剩下元素重新构造堆
    for(int j=n-1; j>0; j--){
        swap(nums[0], nums[j]);  // 将堆顶元与末尾元素进行交换
        heapify(nums, 0, j);     // 剩下元素重新构造堆
    }
}

 

参考：

图解排序算法(三)之堆排序

五分钟学算法：什么是堆？