【数据结构与算法基础】堆排序原理及实现

前言

数据结构，一门数据处理的艺术，精巧的结构在一个又一个算法下发挥着他们无与伦比的高效和精密之美，在为信息技术打下坚实地基的同时，也令无数开发者和探索者为之着迷。

也因如此，它作为博主大二上学期最重要的必修课出现了。由于大家对于上学期C++系列博文的支持，我打算将这门课的笔记也写作系列博文，既用于整理、消化，也用于同各位交流、展示数据结构的美。

此系列文章，将会分成两条主线，一条“数据结构基础”，一条“数据结构拓展”。“数据结构基础”主要以记录课上内容为主，“拓展”则是以课上内容为基础的更加高深的数据结构或相关应用知识。

欢迎关注博主，一起交流、学习、进步，往期的文章将会放在文末。

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从这一节开始，我们将连续梳理几个排序算法。这一节的内容，先交给堆排序。

堆排序是一种相当出色的算法，他不需要大量外在的辅助空间，仅在线性表本身上进行数据操作。时间复杂度稳定在$O(nlo{g}_{2}n)$上，最好情况和最坏情况都是如此。

在前面的章节中我们介绍了二叉堆。简单来说就是二叉堆是一个完全二叉树，它满足父节点比子节点都大(或小)，根节点是子树中最大(或小)元素的性质。如果根节点为子树中最大元素，则该堆被称为大根堆，否则称为小根堆。下面使用的堆默认为大根堆。

使用堆结构排序的一个优势在于，由于堆的特殊性质，顺序存放的数据元素可以直接组织称为一颗完全二叉树，并且通过调整顺序成为一个堆。因此该排序仅需要在数组内部进行，不需要额外的空间。

构建初始堆

构建初始堆是指将原来数组中的元素调换位置使其满足堆性质的过程。

例如，对于如下包含10个元素的序列：
$26,5,77,1,61,11,59,15,48,19$

对应未经过构建的完全二叉树为：

经过初始构建后的构建堆为：

要实现构建堆的过程，首先需要理解堆一种维护操作，下沉。

下沉操作

下沉操作是将某一元素递归的向下交换的过程，其简述如下：

• 如果该元素大于其子节点，该过程结束
• 如果该元素无子节点，该过程结束
• 挑选较大子节点进行交换，继续该过程。

用代码实现如下：

int a[N];

void<