微积分-积分-草稿

微积分-积分

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1. 不定积分

1.1 积分性质

线性性质

1. 加减性质：∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx
2. 常数性质：常数可以提前

1.2 基本积分公式

1. $\int kdx=kx+C$

2. $(\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C)$，其中 $(n\ne -1)$

3. $(\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C)$

4. $(\int e^{x}dx=e^x+C)$

5. $(\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C)$，其中 (a > 0) 且 $(a\ne 1)$

6. $(\int \sin (x)dx=-\cos (x)+C)$

7. $(\int \cos (x)dx=\sin (x)+C)$

其他： $\int kxdx=k(\frac{x^2}{2})=\frac{k{x}^2}{2}$

1.2 解微分

1. 公式法

2. 凑微分法
   方法: 1.d后是整体 2.d前往后移，积分 3.d后往前移，求导

3. 换元法

4. 分部积分法
   口诀: 三指幂对反
   $\int udv=uv-\int vdu$

1.2 换元法

1.2.1 第一换元法

$$\int f(\varphi (x)){\varphi }^{\prime }(x)dx=(\int f(u)du{)}_{u=\psi (x)}$$

1.2.2 第二换元法

$$\int f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)dt=(\int f(x)dx{)}_{x=\psi (t)}$$

1.3 分部积分法

$$\int udv=uv-\int vdu$$

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2. 定积分

2.1 积分性质

线性性质

1. 加减性质
2. 常数性质

2.2 牛顿莱布尼茨公式

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

2.3 换元法

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f(\varphi (t)){\varphi }^{\prime }(t)dt$$

2.4 分布积分法

$${\int }_a^{b}udv=(uv){|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$$

3. 常见凑微分形式

1. $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b)(a\ne 0);$

2. $\int f(x^a)x^{a-1}dx=\frac{1}{a}f(x^a)d{x}^a(a\ne 0);$

3. $\int f(a^x)a^{x}dx=\frac{1}{lna}\int f(a^x)d{a}^x(a>0,a\ne 1);$

$\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d{e}^x;$

4. $\int f(lnx)\frac{dx}{x}=\int f(lnx)dlnx;$

5. $\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d\sin x;$

6. $\int f(\cos x)\sin xdx=-\int f(\cos x)d\cos x$;