微积分-求导

微积分-求导

一丶求导基本公式

1. $(c{)}^{\prime }=0$
   $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}{\sqrt{x}}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
   $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$

2. $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$

3. $(e^x{)}^{\prime }=e^x$

4. $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

5. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

6. $(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

7. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

8. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

二丶求导四则运算

2.1 加减

$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$

2.2 常数乘导数

$(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$

2.3 乘法

$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

2.4 除法

$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$

三丶求导复合运算

$$\begin{gathered} f(x)=u(x) \\ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} \end{gathered}$$

例题: $y=\sin 2x$
答: 设 $u=\sin v$,$v=2x$
$$\begin{gathered} y^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime } \\ =\cos v\ast 2 \\ =2\cos 2x \end{gathered}$$

四丶特殊函数求导 [暂定]

形如: $y=u(x{)}^{v(x)}$

公式:
$$y^{\prime }=y(v(x)[\ln u(x){]}^{\prime })$$

步骤:

1. 增加 $\ln$
   $\ln y=\ln u(x{)}^{v(x)}$
   $\ln y=v(x)\ln u$
2. 求导
   $\frac{1}{y}{y}^{\prime }=v(x{)}^{\prime }\ln u+v(x)(lnu{)}^{\prime }$
   $y^{\prime }=u(x{)}^{v(x)}[v(x{)}^{\prime }\ln u+v(x)(\ln u{)}^{\prime }]$

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对数微分法:
对数微分法是求解形如 $(y=u(x{)}^{v(x)})$这类函数导数的一种非常有用的技巧。这种方法利用了对数的性质来简化求导过程。下面是使用对数微分法求解该函数导数的步骤：

1. 对两边取自然对数：
   $[\ln (y)=\ln (u(x{)}^{v(x)})]$

2. 利用对数的幂规则（即 $(\ln (a^b)=b\ln (a))$）：
   $[\ln (y)=v(x)\ln (u(x))]$

3. 对等式两边关于 ( x ) 求导：
   $[\frac{d}{dx}(\ln (y))=\frac{d}{dx}(v(x)\ln (u(x)))]$

4. 使用乘积法则（即 $(\frac{d}{dx}(fg)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime })$）：
   $[\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=v^{\prime }(x)\ln (u(x))+v(x)\frac{1}{u(x)}{u}^{\prime }(x)]$

5. 解出 $(\frac{dy}{dx})$：
   $[\frac{dy}{dx}=y\left(v^{\prime }(x)\ln (u(x))+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\right)]$

6. 将 ( y ) 代回：
   $[\frac{dy}{dx}=u(x{)}^{v(x)}\left(v^{\prime }(x)\ln (u(x))+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\right)]$

这样，我们就得到了 $(y=u(x{)}^{v(x)})$ 的导数，这种方法避免了直接使用链式法则，而是通过取对数和使用对数的幂规则来简化求导过程。这种方法在处理复杂的幂函数时尤其有用。

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