算法分析与设计——字符串编辑距离问题

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一、问题

给定一个源串和目标串，能够对源串进行如下操作：
在任意位置上插入一个字符；
替换任意字符；
删除任意字符。
写一个程序，实现返回最小操作次数，使得对源串进行上述这些操作后等于目标串（源串和目标串的长度都小于2000）

二、解析

假设目标串为s1，源串为s2，如果把源串s2的每个字符一个个对照目标串s1进行操作拟合，若 认 为s1的第i个字符为s1[i],s2的第j个字符为s2[j]，那么随着i和j的分别推移，可以把思路分成以下几种情况：

1. 如果s1[i] == s2[j]：
   即当前遍历到的s1的字符与s2的字符相等，那么说明源串不需要进行修改就和目标串匹配了，只要直接各自找下一个字符进行比较即可，即i，j各+1向后移动；
2. 如果s1[i] != s2[j]：
   那么有三种操作，即在源串当前位置插入和目标串一样的字符，删除源串当前的字符，或者把当前位置的字符替换成和目标串一样的字符；

可以用动态规划的思路去分析其中的子问题关系，定义dis[i][j]表示当遍历到s1的第i个字符，s2的第j个字符时，使s1前i个字符与s2前j个字符相等的最短步数。假设dis[i-1][j-1]已经是最优情况，此时，为了让dis[i][j]符合要求成为最佳情况，就需要考虑在dis[i-1][j-1]进行怎样的操作能得到dis[i][j]，按照之前的分析，有四种可能性，即不变、替换、插入、删除；

不变：
即当s1[i] == s2[j]时，因为不需要进行任何操作，所以dis[i][j]= dis[i-1][j-1]，直接下一步即可；
替换：当s1[i] != s2[j]时, 可以把s2当前的字符s2[j]替换成s1[i]，让他们相等，此时dis[i][j]= dis[i-1][j-1]+1，即在dis[i-1][j-1]的基础上步数+1即可；

插入：
当s1[i] != s2[j]时,可以在s2当前的字符s2[j]前插入一个s1[i]字符,让原本的s2[j]后移，而插入后的s2[j]位置与s1[i]相等，这相当于在dis[i-1][j]的基础上操作了一步，因为此时s1[i]还不等于s2[j],dis[i-1][j]记录了遍历到s1[i]前一位的最佳步数，只有进行了这一步插入操作之后s2[j]才会等于s1[i]，所以用的是dis[i-1][j]。所以这种情况dis[i][j]= dis[i-1][j]+1；

删除：
当s1[i] != s2[j]时,可以在s2当前的字符s2[j]删除,让原本的s2[j+1]前移到s2[j]，这相当于在dis[i][j-1]的基础上操作了一步,所以这种情况dis[i][j]= dis[i][j-1]+1；

只需要取上述四步中最小的结果就能保证子问题情况最小了，其中如果s1[i]==s2[j]不操作一定是最小的，剩下三个取min即可；

所以状态转移方程如下：

三、设计

核心DP代码：

for (int i = 0; i <= len1;i++){
   
        for (int j = 0; j <= len2;j++){
   
            //填写初始状态
            if(i==0){
   
                dis