动态规划——编辑距离系列问题

1 概述

编辑距离原题——72. 编辑距离，是LeetCode上的一道 hard 级别的题目，该题允许对两个字符串进行增删改（没有查）的操作，而一些类似的题目可能操作起来没有这道题这么复杂，但是也可利用同样的思路去做，因此我们把这些题型提取出来，当作一个知识点来做巩固。下面将按照由易到难的顺序来依次解决这些题目，当然有一些题目也可以用贪心等思想去做，但是由于本文着重讲解动态规划算法，所以涉及到其它的算法暂不作讨论。

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2 实战

2.1 判断子序列

LeetCode链接：392. 判断子序列

给定字符串 s 和 t ，判断 s 是否为 t 的子序列。
字符串的一个子序列是原始字符串删除一些（也可以不删除）字符而不改变剩余字符相对位置形成的新字符串。（例如，"ace"是"abcde"的一个子序列，而"aec"不是）。

示例 1：
输入：s = “abc”, t = “ahbgdc”
输出：true

示例 2：
输入：s = “axc”, t = “ahbgdc”
输出：false

提示：
0 <= s.length <= 100
0 <= t.length <= 10^4
两个字符串都只由小写字符组成。

• 思路：s 和 t 都从空串开始一点点扩，在这个过程中不断判断 s 的 子串是否为 t 子串的子序列，最终得到完整的 s 是否为完整的 t 的子序列。特别地，当 s 为 t 的子串的子序列时，s 一定也为 t 的子序列。

1. dp 数组和下标的定义

• 本题涉及到两个字符串，所以我们下意识定义一个二维 dp 数组，一维代表 s 字符串，另一维代表 t 字符串。dp[i][j] 表示以第 i - 1 位结束的 s 串是否为以 j - 1 位结束的 t 串的子序列。至于为啥定义为 i - 1 和 j - 1，纯粹是为了编码（初始化）方便，如果不是很明白，可以自行定义为以第 i 位和第 j 位结尾。

// dp[i][j] 以i-1结尾的s是否是以j-1结尾的t的子序列
boolean[][] dp = new boolean[lens + 1][lent + 1];

2. 递推公式

• 涉及到两个字符串（数组）的问题，大方向是分为两种情况来讨论 —— 当前位置的值相等、当前位置的值不相等：

• if (s[i - 1] == t[j - 1])：
  

当前位置的值相等时，我们可以同时去掉两字符串中该相等字符，判断以第 i - 2 位结束的 s 串是否为以 j - 2 位结束的 t 串的子序列，即考虑 dp[i - 1][j -1] 的值。如果以第 i - 2 位结束的 s 串是以 j - 2 位结束的 t 串的子序列，那么两个字符串都加上相等的这一位，就能确定以第 i - 1 位结束的 s 串是否为以 j - 1 位结束的 t 串的子序列；

除此之外，我们也可以仅去掉 t 串中的相同位，判断以第 i - 1 位结束的 s 串是否为以 j - 2 位结束的 t 串的子序列，即考虑 dp[i][j - 1]。如果以第 i - 1 位结束的 s 串为以 j - 2 位结束的 t 串的子序列，那么当 t 串加上去掉的那一位，该结论依旧成立。

所以当 s[i - 1] == t[j - 1] 时，dp[i][j] = dp[i - 1][j -1] || dp[i][j - 1]。

• if (s[i - 1] != t[j - 1])：
  

当 s 串的第 i-1 位不等于 t 串的第 j - 1 位时，我们将t 串的第 j - 1 位“删除”，判断以第 i - 1 位结束的 s 串是否为以 j - 2 位结束的 t 串的子序列，即 dp[i][j] = dp[i][j - 1]

• 综上所述：
  

3. 初始化

• 从递推公式可以看出 dp[i][j] 都是依赖于 dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以需要对 dp[0][0] 、 dp[i][0] 和 dp[0][j]是一定要初始化的。而且我们初始化一定要严格按照 dp 数组的定义来：dp[i][j] 表示以第 i - 1 位结束的 s 串是否为以 j - 1 位结束的 t 串的子序列。
• 当 j 为 0 时，以 j - 1 位结束的 t 串为空串，而「任何以第 i - 1 位结束的非空 s 串」不可能是「以 j - 1 位结束的 t 串为空串」的子序列，即 dp[i][0] = false (i != 0)，而 dp[0][0] = true；
• 当 i 为 0 时，以 i - 1 位结束的 s 串为空串，该空串是「任何以第 j - 1 位结尾的 t 串」的子序列，即 `dp[0][j] = true。

// 初始化 dp[0][j] = true, dp[i][0] = false
// 由于boolean数组默认就是false，所以d[i][0]不用单独初始化
for (int j = 0; j <= lent; j++) {
   
    dp[0][j] = true;
}

4. 确认遍历顺序

• 从递推公式可以看出 dp[i][j] 都是依赖于 dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

5. 举例推导 dp 数组
   

• 完整代码如下：

public boolean isSubsequence(String s, String t) {
   
    // 特判
    if (s == null || s.length() == 0) return true;
    if (t == null || t.length() == 0) return false;
    
    int lens = s