【hot100】刷题记录(39)-最小路径和

题目描述：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格 grid ，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

 

示例 1：

 

输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]]
输出：7
解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

示例 2：

输入：grid = [[1,2,3],[4,5,6]]
输出：12

 

提示：

• m == grid.length
• n == grid[i].length
• 1 <= m, n <= 200
• 0 <= grid[i][j] <= 200

 

我的作答：

贪心算法+动态规划，动态规划数组dp的dp[i][j]表示走到(i, j)时数字总和最小的路径上的数字总和， 而选择下一步时，选择左边和上面格子中最小的数字总和；

我在思考这个贪心会不会造成局部最优但并非全局最优，但其实不会，因为这个策略是基于“过去”的选择，并不涉及“未来”，即每一个格子是根据左边和上面计算的，而不是基于“下一步”（右边和下面）的数字，所以不会存在“捡芝麻丢了西瓜”的情况；

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        if not grid: return 0
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        dp = [[0]*n for _ in range(m)]
        for j in range(n): #初始化第0行
            if j==0: dp[0][j] = grid[0][0]
            else: dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
        for i in range(1, m): #初始化第0列
            dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]) + grid[i][j] #更新每个网格
        return dp[-1][-1]

时间复杂度O(m*n)，空间复杂度O(m*n)

 

参考：

class Solution:
    def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        @cache  # 缓存装饰器，避免重复计算 dfs 的结果（记忆化）
        def dfs(i: int, j: int) -> int:
            if i < 0 or j < 0:
                return inf
            if i == 0 and j == 0:
                return grid[i][j]
            return min(dfs(i, j - 1), dfs(i - 1, j)) + grid[i][j]
        return dfs(len(grid) - 1, len(grid[0]) - 1)