第五十一天| 309.最佳买卖股票时机含冷冻期、714.买卖股票的最佳时机含手续费

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Leetcode 309.最佳买卖股票时机含冷冻期 

题目链接：309 最佳买卖股票时机含冷冻期

题干：给定一个整数数组prices，其中第  prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。​

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

• 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

思考：动态规划。本题是在 122.买卖股票的最佳时机II 的基础上加上冷冻期。

• 确定dp数组以及下标的含义（本题的难点）

dp[i][j]：第i天，状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。

出现冷冻期后，状态比较复杂度。尤其要注意 不进行买入卖出 的几种情况。

具体可以区分出如下四个状态：

• 状态一：持有股票状态（今天 或 之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
• 不持有股票状态，这里就有两种卖出股票状态
  • 状态二：保持卖出股票状态（前一天处于冷冻期 或 之前就是卖出股票状态，一直没操作）
  • 状态三：今天卖出股票（真实卖出股票）
• 状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

 以上状态j分别用0，1，2，3代指。

本题之所以要将不持有股票的状态分为状态二和状态三，是由于如果本题的冷冻期从不持有股票的状态推出，则冷冻期连续，不止一天，与题干矛盾。

• 确定递推公式

达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
• 操作二：今天买入股票，有两种情况
  • 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
  • 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]

那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i]);

---

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：

• 操作一：前一天就是状态二，dp[i - 1][1]
• 操作二：前一天是冷冻期（状态四）,dp[i - 1][3]

dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);

---

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：

昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出。即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];

---

达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：

昨天卖出了股票（状态三）。dp[i][3] = dp[i - 1][2];

• dp数组如何初始化

从递推公式可以看出，基础为dp[0][j]，即第0天如何初始化。

如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。

之后三种状态的初始化，从定义难以解释，因此我们直接从递推公式来推导。

如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，此处的 dp[0][1] （即第0天的保持卖出股票状态（状态二））相当于第0天的利润作本金，因此初始为0。

同理第0天的今天卖出股票（状态三），dp[0][2]也应初始化为0。

此外由于冷冻期不操作，状态四和状态三的值恒等。因此dp[0][3]也初始为0。

• 确定遍历顺序

从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。

• 举例推导dp数组

以 [1,2,3,0,2] 为例，dp数组如下：

最后 获取最大金额一定不是持有股票的状态，只可能是最后一天卖出股票（状态三）或最后一天不操作（状态二和状态四），并且返回这三种状态的最大值。 

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(4));
        dp[0][0] = - prices[0];
        dp[0][1] = 0;
        dp[0][2] = 0;
        dp[0][3] = 0;

        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            //保持持有股票、之前处于卖出股票本次买入股票、之前处于冷冻期本次买入股票
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]) - prices[i]);
            //保持卖出股票状态、之前处于冷冻期状态本次处于卖出股票状态
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
            //之前处于持有股票状态本次真实卖出股票
            dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
            //之前真实卖出股票本次处于冷冻期
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
        }

        //最后一天卖出股票 或 最后一天无操作
        return max(dp[prices.size() - 1][2], max(dp[prices.size() - 1][1], dp[prices.size() - 1][3]));
    }
};

Leetcode 714.买卖股票的最佳时机含手续费

题目链接：714 买卖股票的最佳时机含手续费

题干：给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

思考：动态规划。本题与 122.买卖股票的最佳时机II 的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作。减去手续费的操作既可以放在购入股票时也可以放在卖出股票时。（下面的代码将费用放在购票时）。递推公式和初始化稍加修改即可。

代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
        //dp[i][0]:第i天持有股票状态    dp[i][1]:第i天不持有股票状态
        vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2));
        dp[0][0] = - prices[0] - fee;       //买入股票时考虑手续费
        dp[0][1] = 0;

        for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
            dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i] - fee);   //一直持有股票 或 第i天买入股票（上一次交易利润作本金）
            dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);         //第i天卖出股票 或 之前就卖出股票
        }
        return dp[prices.size() - 1][1]; 
    }
};

股票问题总结：

股票问题的重点有两处：

        对于股票交易次数的限制 可以从 每次交易的本金 和 交易状态考虑。只需一次交易则交易本金一直为0；无限次交易则将上次交易的利润当作本次交易的本金；有限次（大于一次）交易通过添加 不同次交易状态 来同步更新 保证不超过指定交易次数。

​​​​​​​        对于交易情况的限制 可以从 交易状态考虑。本质上和有限次交易次数限制一样，但是要考虑具体的状态种类 来确定dp数组含义 以及 考虑全各种状态之间的转换情况 来确定递推公式。