南京邮电大学数学实验A 作业5 函数与方程 答案 | 《MATLAB数学实验》第三版 第四章 课后习题答案

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1(课本习题1)

求下列多项式的所有根，并验算：

(1) $x^2+x+1$;

(2) $3x^5-4x^3+2x-1$;

(3) $5x^{23}-6x^7+8x^6-5x^2$​;

(4) $(2x+3{)}^3-4$​ (提示: 先用conv展开)

代码：

function verify_roots(p, r, tol)
    % p: 多项式的系数向量,r: roots 函数的输出
    % tol: 误差容限
    all_passed = true;
    for i = 1:length(r)
        if abs(polyval(p, r(i))) > tol
            fprintf('根 %f + %fi 可能不准确\n', real(r(i)), imag(r(i)));
            all_passed = false;
        end
    end
    if all_passed
        fprintf('所有的根都已经通过验证，求根正确。\n');
    end
end

% 1.1
tol = 1e-6; % 定义容差
p = [1 1 1];
r = roots(p)
verify_roots(p, r, tol)
% 1.2
p = [3 0 -4 0 2 -1];
r = roots(p)
verify_roots(p, r, tol)
% 1.3
p = zeros(1,24);
p([1 17 18 22]) = [5 -6 8 -5];
r = roots(p)
verify_roots(p, r, tol)
% 1.4
p1 = [2 3];
p2 = conv(p1,p1);
p3 = conv(p1,p2);
p3(end) = p3(end)-4;
r = roots(p3)
verify_roots(p3, r, tol)

输出：

ans =

-0.5000 + 0.8660i

-0.5000 - 0.8660i

所有的根都已经通过验证，求根正确。

ans =

-0.9479 + 0.3845i

-0.9479 - 0.3845i

1.0000 + 0.0000i

0.4479 + 0.3435i

0.4479 - 0.3435i

所有的根都已经通过验证，求根正确。

ans =

0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.9768 + 0.0000i

0.9388 + 0.2682i

0.9388 - 0.2682i

0.8554 + 0.5363i

0.8554 - 0.5363i

0.6615 + 0.8064i

0.6615 - 0.8064i

0.3516 + 0.9878i

0.3516 - 0.9878i

-0.0345 + 1.0150i

-0.0345 - 1.0150i

-0.4609 + 0.9458i

-0.4609 - 0.9458i

-0.1150 + 0.8340i

-0.1150 - 0.8340i

-0.7821 + 0.7376i

-0.7821 - 0.7376i

-0.9859 + 0.4106i

-0.9859 - 0.4106i

-1.0416 + 0.0000i

-0.7927 + 0.0000i

所有的根都已经通过验证，求根正确。

ans =

-1.8969 + 0.6874i

-1.8969 - 0.6874i

-0.7063 + 0.0000i

所有的根都已经通过验证，求根正确。

2(课本习题2)

求方程$x\ln \left(\sqrt{x^2-1}+x\right)-\sqrt{x^2-1}-0.5x=0$​​的正根。

代码：

Fun = @(x) x*log(sqrt(x^2-1)+x)-sqrt(x^2-1)-0.5*x;
% 使用fzero函数找到函数的零点
fzero(Fun,2)

输出：

ans = 2.1155

3(课本习题4)

(超越方程)超越方程的解有时是很复杂的，作出$f(x)=x\sin \frac{1}{x}$在[-0.1,
0.1]内的图，可见x=0附近$f(x)=0$​有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，是计算结果误差不超过0.01.

代码：

Fun = @(x) x.*sin(1/x);
% 使用fplot函数绘制函数图像
fplot(Fun, [-0.1 0.1]