关于辗转相除法的证明，及进制表示法

一.辗转相除法

1.求最大公因子的方法(a,b) = (b,c)称为辗转相除法
  Ⅰ.其中a = qb + c; (a,b)为a,b的最大公因子。
  Ⅱ.简化了求最大公因子的工作量，因为任意整数和0的公因子为其本身。若余数c=0时，b即为最大公因子。

2.辗转相除法的证明：
  Ⅰ.因为(a,b)整除a，(a,b)整除b，根据整除的性质（即a整除b，a整除c，可以得到a整除mb+mc ）可以得到(a,b)整除c，所以有(b,c)>=(a,b)（因为(a,b)是c的因子，也是b的因子，所以(b,c)>=(a,c)。)。同理可得c<=(a,b)，所以可以得到结果：(a,b) = (b,c)

3.辗转相除法的递归实现

int digui(int a , int b){
	if(b==0) return b;
	return digui(b,a%b);
}

二.进制表示法

  Ⅰ.任何整数n都可以表示为a进制：r(t)*a^t + r(t-1)a^(t-1) + … +r1a + r0.
  Ⅱ.证明：对于整数n，可表示为 n = q0 * a + r0。现在将q0分解 q0 = q1 * a + r1。原式等于 n = (q1 * a + r1) * a + r0。递推可得到存在 0 <= q(t-1) < a，使得 q(t-1) = rt。所以可以得到Ⅰ中的式子。

谢谢大家的评论与支持，补充一下ha

3.补充，关于求n个数的最大公因数。

  ①.定理 我们设a1,a2,a3…a(n)为n个整数。令(a1,a2) = d1 ,(d1,a3) = d2 , (d2,a4) = d3 … (d(n-2),a(n)) = d(n-1)，则 (a1,a2…an) = d(n-1)。
    i.我的理解：这个定理就是我们求解n个数的最大公因子的办法。简单说假如求3个数的最大公因子，就是求前两个数的最大公因子，接着用这个最大公因子和第三个数求最大公因子，就得出这三个数的最大公因子有点啰嗦了hah。

  ②.证明：
     i.目的：证明d(n-1)等于这n个数的最大公因子，为了方便我们设( a1,a2…,an) = d。即d = d(n-1)
    ii.如何达到目的：我们可以通过证明 d | d(n-1) , d(n-1) | d，来证明d = d(n-1) 。
    iii.开始证明：①.首先证明d | d(n-1) ，因为d为最大公因子 d | ai (1 <= i <= n) ，我们可以发现d1 = xa1 + ya2 （这个是由带余除法推广出来的结论，我就不说了，要不太啰嗦了）所以d | d1 （整除的性质），d2 = xd1 + ya3 ，所以d | d2，依次类推 d | di (1 <= i <= n-1) ， 可以得到d | d(n-1)。②.接下来证明d(n-1) | d ，因为(d(n-2) , an) = d(n-1) ，所以d(n-1) | an , d(n-1) | d(n-2) 。接下来看倒数第二项 (d(n-3) , a(n-1)) = d(n-2) ，可以得到d(n-2) | a(n-1) , d(n-2) | d(n-3)。根据整除的传递性，我们可以得到d(n-1) | a(n-1)，以此类推我们可以得到d(n-1) | ai (1 <= i <= n-1)，所以 d是a1到an的公因子，（n个数的公因子必整除他们的最大公因子，这个通过反证法很容易证明），所以d(n-1) | d。得证！

啊啊啊，开始准备用手机写来着！才发现手机也不是万能的，用手机写博客估计得累死。谢谢大家看完。笔者水平有限，难免有错，还请大家指正。谢谢！